令人困惑的平均值

请检查下面的陈述：

（1）快速致富的一个方法就是做一名职业足球队员，2010年国家足球联盟球星的平均收入是180万美元。

（2）在大学里要取得好成绩学生需要付出的努力是越来越少了。根据最近一项调查，大学生每周平均花在学习上的时间是12.8小时，和20年前的大学生相比大概只有他们的一半。

两个例子当中都使用了“平均”这个词。但是实际上却有3种不同的方法来测定平均值，而且在大多数情况下，每种方法都会给出不同的数值。

第一种方法是把所有数值相加然后用总数除以相加的数值个数。这种方法所得的结果就是平均数（mean）。第二种方法是将所有数值从高到低排列，然后找到位于最中间的数值，这个中间数值就是中位数（median）。有一半的数值在中位数之上，另一半在中位数之下。第三种方法是将所有数值排列好，计算每个不同数值出现的次数或每个不同数值范围出现的次数，出现频率最高的数值就叫作众数（mode），这是第三种平均值。

作者谈论的是平均数、中位数还是众数，将会产生很大的区别。

第一个例子当中取哪种平均值最能说明问题？考虑一下职业化运动当中大牌球星的收入与那些一般球员的收入对比。最大牌的球星，比如说橄榄球明星四分卫，收入比球队里大部分其他球员要高出很多。事实上，2010年度薪酬最高的橄榄球运动员岁入超过1 500万美元——远远高于平均值。这样高的收入将会急剧拉高平均数，但是对于中位数或众数而言则影响不大。举例来说，国家橄榄球联盟的球员2010年度工资平均数是180万美元，但是其工资中位数却只有77万美元。因此，在大部分职业运动当中，平均数工资比中位数工资或者众数工资要高出很多。所以，如果有人想让工资水平显得非常非常高，他就会选择平均数作为平均值。

现在让我们来仔细看看第二个例子。如果这里列举的平均值要么是中位数要么是众数，我们有可能就高估了平均的学习时间。有些学生很可能花很多时间学习，比如一周30或40个小时，这样就提高了平均数的数值但是却不影响中位数或者众数的数值。学习时间的众数可能花远低于或者远高于中位数，主要取决于花多长时间学习对学生而言最为常见。

当你见到平均值的时候，一定要记得问一下：“是平均数、中位数还是众数，选择的平均值不同会不会产生什么影响？”要回答这个问题，请想一想平均值的不同含义会对信息的意义造成怎样的改变。

不仅判断一个平均值是平均数、中位数还是众数非常重要，判定最小数值和最大数值之间的差距（即全距（range））以及每个数值出现的频率（数值分布），常常也显得异常重要。

下面我们来看一个例子，在这个例子里全距和数值分布就显得非常重要。

医生对20岁的病人说：你所患癌症的预后不容乐观。患同样癌症的病人存活时间的中位数是十个月。所以剩下来的这几个月你想做什么就做点什么吧，不必有什么顾虑了。

病人听到医生给出这样的诊断结果，他对自己的未来该做出怎样可怕的展望呢？首先，我们确定的是获得这种诊断的病人有一半不到十个月就去世了，还有一半人存活时间超过了十个月。但是我们并不知道活下来的那部分人的存活时间的全距和数值分布。这些可能显示出有些人甚至是很多人活得远远超过了十个月时间。其中有些人甚至很多人可能活到80岁以上呢！知道病人存活时间的完整分布可能会改变这名癌症患者对未来的看法。

一般来说，病人应该考虑国内不同的医院对于他的疾病的存活率是不是有不同的全距和数值分布。这样他就应该考虑选择在那家有最乐观的数值分布的医院就诊。

当我们遇到平均数的时候，了解全距和数值分布的一个总体好处就是这样做会提醒你大多数人或事并不正好符合平均值，与平均值差异极大的结果也在意料之中。例如，在有些健康议案中许多旨在改善我们健康状况的医疗干预措施事先都会给我们看一看其平均获益情况，尽管这项研究中的许多人获益极少或压根就没有获益，甚至有些人会不同程度地受损。