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移除书签卷第一 方田
魏 刘徽 注唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释[1]
今有田广十五步，纵十六步。问：为田几何？
答曰：一亩。
又有田广十二步，纵十四步。问：为田几何？
答曰：一百六十八步。图：纵十四，广十二。
方田术曰：广纵步数相乘得积步。此积谓田幂。凡广纵相乘谓之幂。臣淳风等谨按：经云“广纵相乘得积步”，注云“广纵相乘谓之幂”，观斯注意，积幂义同。以理推之，固当不尔。何则？幂是方面单布之名，积乃众数聚居之称。循名责实，二者全殊。虽欲同之，窃恐不可。今以凡言幂者据广纵之一方；其言积者举众步之都数。经云相乘得积步，即是都数之明文。注云谓之为幂，全乖积步之本意。此注前云积为田幂，于理得通。复云谓之为幂，繁而不当。今者注释存善去非，略为料简[4] ，遗诸后学。 以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。臣淳风等谨按：此为篇端，故特举顷、亩二法。余术不复一言者，从此可知。一亩田，广十五步，纵而疏之，令为十五行，即每行广一步而纵十六步。又横而截之，令为十六行，即每行广一步而纵十五步。此即纵疏横截之步，各自为方。凡有二百四十步。为一亩之地，步数正同。以此言之，即广纵相乘得积步，验矣。二百四十步者，亩法也。百亩者，顷法也。故以除之，即得。
注释
[1] 李淳风：唐代天文学家、数学家，曾注释《九章算术》及刘徽注。在注释《九章算术》少广章开立圆术时，引用了祖暅提出的球体积的正确计算公式，介绍了球体积公式的理论基础，即“祖暅原理”。
[2] 方田：长方形的田。
[3] 御：治理。
[4] 料简：选择；拣择。
译文
方田（刘徽注：用来确定农田的边界范围。）
现有田宽15步，长16步。问：田的面积是多少？
答：1亩。
又有田宽12步，长14步。问：田的面积是多少？
答：168步2 。［刘徽注：图（此图已佚。图1－1为李潢《九章算术细草图说》中的补图）：长14，宽12。］
长方形田面积法则：宽与长的步数相乘得积步。（刘徽注：这个积称为田的幂。凡是长宽相乘就称为幂。李淳风注：《九章算术》说“宽与长的步数相乘得积步”，刘徽注说“长宽相乘就称为幂”。观察注的意思，积与幂意义相同。但是按理推导，应该不是这样的。为什么呢？幂是长方形朝单一方向移动所得图形，积却是数累积的结果。根据名称考虑，两者完全不同。若把它们看成相同的，我认为是不可以。现在说到幂都是指具有宽、长边的长方形，说到积都是指步的总数。《九章算术》说“相乘得积步”，就是明确地说明了是数的积累。刘徽注说“相乘就称为幂”，违背了步数乘积的本意。注的前半段说“这个积称为田的幂”基本合理，后半段说“凡是长宽相乘就称为幂”，却是又烦琐又不恰当。如今作注释应该保留正确的，去掉错误的，稍作选择，供后世学子参考。）以亩的换算法则240步2 除积步，即为亩数。100亩为一顷。（李淳风注：这里是本书的开端，所以特意举出亩和顷的换算法则。后文就不再重复列举了。1亩田，宽15步，纵向分为15行，每行宽1步长16步。再把它横截，分为16行，每行宽1步长15步。这样纵分和横截后，各自形成正方形，共240步2 。1亩田地，步2 数和正方形数相同。于是，宽、长的步数相乘得积步，得到验证。240步2 是亩的换算法则，100亩是顷的换算法则。用它们来除积步，便可得到结果。）
图1－1
今有田广一里[1] ，纵一里。问：为田几何？
答曰：三顷七十五亩。
又有田广二里，纵三里。问：为田几何？
答曰：二十二顷五十亩。
里田术曰：广纵里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。按：此术广纵里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩，故以乘之，即得亩数也[2] 。
注释
[1] 里：我国长度单位。秦汉时期，1里为300步。
[2] “方里之中有三顷七十五亩”三句： 。
译文
现有田地宽1里，长1里。问：田的面积是多少？
答：3顷75亩。
又有田地宽2里，长3里。问：田的面积是多少？
答：22顷50亩。
长方形田（方里为面积单位）法则：宽和长的里数相乘得积里。以375与它相乘，即为亩数。（刘徽注：宽、长的里数相乘得积里。1方里有3顷75亩，以它与积里相乘，得到亩数。）
今有十八分之十二。问：约之得几何？
答曰：三分之二。
又有九十一分之四十九。问：约之得几何？
答曰：十三分之七。
约分按：约分者，物之数量，不可悉全，必以分言之。分之为数，繁则难用。设有四分之二者，繁而言之，亦可为八分之四；约而言之，则二分之一也。虽则异辞，至于为数，亦同归尔。法实相推，动有参差[1] ，故为术者先治诸分。 术曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损[2] ，求其等也。以等数约之。等数约之，即除也。其所以相减者，皆等数之重叠，故以等数约之。
注释
[1] 参差：不齐的样子。
[2] 更相减损：更相减损法则。更相，相互。
译文
现有分数 。问：将它约简，得多少？
答： 。
又有分数 。问：将它约简，得多少？
答： 。
约分（刘徽注：约分的原因是物品的数量不可能全部是整数，这时必须用分数表示。分数作为一个数来说，如果太烦琐就难用。例如 ，烦琐的表示形式有 ，简约的表示形式有 。虽然表示形式不同，但数值上是相同的。分母分子互相推算，经常有不同的情况，所以计算前要先进行约分。）法则：分母分子如果可约简为一半的，就约简为一半。不能约简为一半的，在旁边计算分母分子，大数减小数，反复相减，直到求出它们的等数。用等数约简这个分数。（刘徽注：用等数约简，就是除。它们反复相减的原因是它们都是等数的重叠。所以需要用等数约简它们。）
今有三分之一，五分之二。问：合之得几何？
答曰：十五分之十一。
又有三分之二，七分之四，九分之五。问：合之得几何？
答曰：得一、六十三分之五十。
又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。问：合之得几何？
答曰：得二、六十分之四十三。
合分臣淳风等谨按：合分知，数非一端，分无定准，诸分子杂互，群母参差。粗细既殊[1] ，理难从一。故齐其众分[2] ，同其群母，令可相并，故曰合分。 术曰：母互乘子，并以为实，母相乘为法[3] 。母互乘子，约而言之者，其分粗；繁而言之者，其分细。虽则粗细有殊，然其实一也。众分错难，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同共一母也。齐者，子与母齐，势不可失本数也。方以类聚，物以群分。数同类者无远，数异类者无近。远而通体知，虽异位而相从也；近而殊形知，虽同列而相违也。然则齐同之术要矣。错综度数，动之斯谐[4] ，其犹佩觿解结[5] ，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎。其一术者，可令母除为率，率乘子为齐。 实如法而一。不满法者，以法命之。今欲求其实，故齐其子，又同其母，令如母而一。其余以等数约之，即得知。所谓同法为母，实余为子，皆从此例。 其母同者，直相从之。
注释
[1] 粗细：数值大小。
[2] 齐：调整。
[3] 母互乘子，并以为实，母相乘为法：假设两个分数 ， 。分数加法法则： 。
[4] 谐：商量好，办妥。
[5] 觿xī：古代一种解结的锥子。用骨、玉等制成。也用作佩饰。
译文
现有 ， 。问：它们的和是多少？
答： 。
又有 ， ， 。问：它们的和是多少？
答： 。
又有 ， ， ， 。问：它们的和是多少？
答： 。
分数加法（李淳风注：分数的加法，数不同，分法也不同，分子、分母参差错杂。数值大小既然不一样，理论上讲很难统一。所以调整所有分数，使它们分母相同，再将它们相加，称为合分。）法则：分母互乘分子，相加的和作为被除数，分母相乘作为除数。（刘徽注：分母互乘分子，简约地表示，分数单位大；烦琐地表示，分数单位小。虽然分数单位大小不同，但就数值来说是一样的。分数的表示错杂且难处理，不将数值化小很难计算。相乘使分数单位散开，分母相通。相通就可以作加法。凡是分母互乘分子称为齐，各分母互乘称为同。同，是使分数相通，拥有共同的分母。齐，是分子根据分母作调整，同时保证数值不变。各种方法根据类别会合在一起，事物根据共性相聚成群。同类的数不会相差很远，异类的数不会特别相近。相差远但相通的数，虽然位置不同却可以合并；相近但形态不一致的数，即使处于同一行列也相互违背。可见齐同法则是很重要的。数学运算虽然错综复杂，但只要使用法则就可以处理好，就像用觿解结，没有不能理清的。乘使数散开，约使数相聚，齐同使数相通，这就是算法的纲领啊！另一个法则：以分母除以各分母之积作为率，用率分别乘对应的分子作为齐。）被除数除以除数。如果被除数不满除数，就用除数为分母，余数为分子组成一个分数。（刘徽注：现在为了得到被除数，要先齐分子、同分母，然后用分母分别相除，其余的数用等数约简，得到结果。通常按照规定：相同的除数作为分母，被除数的余数作为分子。）其中分母相同的情况，就直接把它们相加。
今有九分之八，减其五分之一。问：余几何？
答曰：四十五分之三十一。
又有四分之三，减其三分之一。问：余几何？
答曰：十二分之五。
减分臣淳风等谨按：诸分子、母数各不同，以少减多[1] ，欲知余几，减余为实，故曰减分。 术曰：母互乘子，以少减多，余为实[2] 。母相乘为法。实如法而一。“母互乘子”知，以齐其子也，“以少减多”知，齐故可相减也。“母相乘为法”者，同其母。母同子齐，故如母而一，即得。
注释
[1] 以少减多：以小减大，即从较大的数中减去较小的数。
[2] 母互乘子，以少减多，余为实：假设两个分数 ， 。分数减法法则： 。
译文
现有 ，减去 。问：剩余多少？
答： 。
又有 ，减去 。问：剩余多少？
答： 。
分数减法（李淳风注：各分数的分子、分母皆不同，从大数中减去小数，要想知道剩余多少，将相减的余数作为被除数，这就是分数的减法。）法则：分母互乘分子，从大数中减去小数，余数作为被除数。分母相乘作为除数。被除数除以除数。（刘徽注：“分母互乘分子”的目的，是使分子相齐，“以小减大”，是因为分子相齐才可以相减。“分母相乘作为除数”的目的，是使它们的分母相同。分母相同、分子相齐后，余数除以分母，得到结果。）
今有八分之五，二十五分之十六。问：孰多？多几何？
答曰：二十五分之十六多，多二百分之三。
又有九分之八，七分之六。问：孰多？多几何？
答曰：九分之八多，多六十三分之二。
又有二十一分之八，五十分之十七。问：孰多？多几何？
答曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。
课分[1]臣淳风等谨按：分各异名，理不齐一，校其相多之数，故曰课分也。 术曰：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一，即相多也。臣淳风等谨按：此术母互乘子，以少分减多分。按：此术多与减分义同。唯相多之数，意共减分有异：减分知，求其余数有几；课分知，以其余数相多也。
注释
[1] 课：按一定规程检验、考核。
译文
现有 ， 。问：哪个大？大多少？
答： 大，大 。
又有 ， 。问：哪个大？大多少？
答： 大，大 。
又有 ， 。问：哪个大？大多少？
答： 大，大 。
分数比较（李淳风注：分数数值各不相同，理论上也不整齐。比较它们间相差多少，这就是分数的比较。）法则：分母互乘分子，从大数中减去小数，余数作为被除数，分母相乘作为除数，被除数除以除数，得到相差的数。（李淳风注：本法则分母互乘分子后，从较大的分数中减去较小的分数。刘徽注：本法则与分数减法法则的意义大部分相同，只有相差的数，意义与减法法则不同：减法法则求出余数是多少，分数比较法则将余数作为相差的数。）
今有三分之一，三分之二，四分之三。问：减多益少，各几何而平？
答曰：减四分之三者二，三分之二者一，并，以益三分之一，而各平于十二分之七。
又有二分之一，三分之二，四分之三。问：减多益少，各几何而平？
答曰：减三分之二者一，四分之三者四，并，以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。
平分臣淳风等谨按：平分者，诸分参差，欲令齐等，减彼之多，增此之少，故曰平分也。 术曰：母互乘子[1] ，齐其子也。 副并为平实[2] 。臣淳风等谨按：母互乘子，副并为平实知，定此平实主限，众子所当损益知，限为平。 母相乘为法[3] 。“母相乘为法”知，亦齐其子，又同其母。 以列数乘未并者各自为列实[4] 。亦以列数乘法。此当副置列数除平实。若然则重有分，故反以列数乘同齐。臣淳风等谨又按：问云所平之分多少不定，或三或二，列位无常。平三知，置位三重；平二知，置位二重。凡此之例，一准平分不可预定多少，故直云列数而已。 以平实减列实，余，约之为所减。并所减以益于少。以法命平实，各得其平。
注释
[1] 母互乘子：假设三个分数 ， ， ，分子化为bce ，dae ，fac 。
[2] 副并为平实：平实为bce ＋dae ＋fac 。
[3] 母相乘为法：除数为ace 。
[4] 列数：问题中的分数的个数，假设为3。列实为3bce ＋3dae ＋3fac 。
译文
现有 ， ， 。问：减大的数，加到小的数上，各加减多少得到平均数？
答： 减去 ， 减去 ，把它们相加，加到 上，各得平均数 。
又有 ， ， 。问：减大的数，加到小的数上，各加减多少得到平均数？
答： 减去 ， 减去 ，把它们相加，加到 上，各得平均数 。
分数平均（李淳风注：分数平均法则，各分数参差不一，要想使它们齐等，减去大数的一部分，加到小数上，这就是分数平均。）法则：分母互乘分子，（刘徽注：使分子相齐。）相加之和作为平实。（李淳风注：分母互乘分子，相加之和作为平实，是确定这个平实为主要界限，各分子根据这个界限判断应当减少或增加，从而达到平均数。）分母相乘作为除数。（刘徽注：“分母相乘作为除数”，是使分子相齐，分母相同。）未相加的分子乘以列数各自作为列实。同时除数乘以列数。（刘徽注：应当在旁边布置列数除平实。这样的话可能会产生繁分数，所以反而以列数乘同齐。李淳风注：问题中所要取平均数的分数个数不固定，有时三个有时两个，列数不固定。求平均数的分数有三个，就布置三个；求平均数的分数有两个，就布置两个。凡是这样的问题，求平均数的分数不能预定，所以法则中就直接说是列数了。）列实减去平实，余数，与除数约简作为各分数应当减去的数。减去的数相加之和加到小的分数上。平实除以除数，得到各自的平均数。
解析
如 ， ， 。分子乘分母，得12，24，27。平实是63。分母相乘作为除数，除数为36。列数为3。列实为36，72，81。除数乘以列数得108。有36＜63，72＞63，81＞63，列实减去平实，分别得9，18。则应减去的分数为 ， 。应加上的分数 ，平均数 。
今有七人，分八钱三分钱之一。问：人得几何？
答曰：人得一钱二十一分钱之四。
又有三人三分人之一，分六钱三分钱之一、四分钱之三。问：人得几何？
答曰：人得二钱八分钱之一。
经分[1]臣淳风等谨按：经分者，自合分已下，皆与诸分相齐，此乃直求一人之分。以人数分所分，故曰经分也。 术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之；母互乘子知，齐其子；母相乘者，同其母；以母通之者，分母乘全纳子[2] 。乘，散全则为积分，积分则与分子相通之，故可令相从。凡数相与者谓之率。率知，自相与通。有分则可散，分重叠则约也。等除法实，相与率也。故散分者，必令两分母相乘法实也。 重有分者同而通之。又以法分母乘实，实分母乘法[3] 。此谓法，实俱有分，故令分母各乘全分纳子，又令分母互乘上下 。
注释
[1] 经：分割。
[2] 全：整数。纳：纳入。
[3] 以法分母乘实，实分母乘法：假设两个分数 ， 。分数除法法则： 。
译文
现有7人，分 钱。问：每人分得多少？
答：每人分得 钱。
现有 人，分 钱、 钱。问：每人分得多少？
答：每人分得 钱。
分数除法（李淳风注：分数除法，从分数加法以下，全使分数相齐，这里只求每人分得多少。以人数分割所要分的数，这就是分数除法。）法则：以人数作为除数，钱数作为被除数，被除数除以除数。如果被除数或除数中含有分数，应先通分；（刘徽注：分母互乘分子使分子相齐，分母互乘使分母相同。用分母通分，分母乘以整数部分再并入分子部分。乘，使整数部分散开成为积分，积分与分子相通，因此才可以相加。凡是一组有关系的数称之为率。已知率相互之间应该相通。如果有分数就可以散开，分数有重叠可以约简。除数、被除数除以等数，得到相与率。所以散分，必然使两分母相乘除数和被除数。）如果被除数和除数都含有分数，使分母相同后再通分。（刘徽注：又以除数的分母乘被除数，被除数的分母乘除数。这就是除数、被除数都含有分数，所以使分母各自乘整数部分，并入分子后，再用分母互乘对方分子。）
今有田广七分步之四，纵五分步之三。问：为田几何？
答曰：三十五分步之十二。
又有田广九分步之七，纵十一分步之九。问：为田几何？
答曰：十一分步之七。
又有田广五分步之四，纵九分步之五。问：为田几何？
答曰：九分步之四。
乘分臣淳风等谨按：乘分者，分母相乘为法，子相乘为实，故曰乘分。 术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。凡实不满法者而有母、子之名。若有分，以乘其实而长之。则亦满法，乃为全耳。又以子有所乘，故母当报除。报除者，实如法而一也。今子相乘则母各当报除，因令分母相乘而连除也。此田有广纵，难以广谕。设有问者曰：马二十匹，直金十二斤[1] 。今卖马二十匹，三十五人分之，人得几何？答曰：三十五分斤之十二。其为之也，当如经分术，以十二斤金为实，三十五人为法。设更言马五匹，直金三斤。今卖四匹，七人分之，人得几何？答曰：人得三十五分斤之十二。其为之也，当齐其金、人之数，皆合初问入于经分矣。然则“分子相乘为实”者，犹齐其金也。“母相乘为法”者，犹齐其人也。同其母为二十，马无事于同，但欲求齐而已。又，马五匹，直金三斤，完全之率；分而言之，则为一匹直金五分斤之三。七人卖四马，一人卖七分马之四。金与人交互相生，所从言之异，而计数则三术同归也。
注释
[1] 直：值。
译文
现有田宽 步，长 步。问：田的面积是多少？
答： 步2 。
又有田宽 步，长 步。问：田的面积是多少？
答： 步2 。
又有田宽 步，长 步。问：田的面积是多少？
答： 步2 。
分数乘法（李淳风注：分数乘法，分母相乘作为除数，分子相乘作为被除数，这就是分数乘法。）法则：分母相乘作为除数，分子相乘作为被除数。被除数除以除数。（刘徽注：凡是被除数不能整除除数的情况，就有分母、分子。如果有分数，乘它的被除数以使其扩大。如果被除数大于除数，就有整数部分。分子有所乘，所以分母应当报除。报除，也就是被除数除以除数。现在分子相乘，所以分母应当报除。所以将分母相乘连在一起除。田有宽和长，难以更详尽地比喻。假设有人问：马20匹，值金12斤。现卖马20匹，35人分金，每人得多少？答： 斤。会这样计算，是运用分数除法法则，用12斤金作为被除数，35人作为除数。又假设有马5匹，值金3斤。现卖马4匹，7人分金。每人得多少？答： 斤。会这样计算，是使金数与人数相齐，与最初问相同而合并入分数除法法则。然而“分子相乘作为被除数”是使金数相齐，“分母相乘作为除数”是使人数相齐，分母相同为20。马数除了使分母相同外没有别的作用，只是求相齐而已。又假设马5匹，值金3斤。是两个整数的率。用分数来表示，则1匹马值 斤。7人卖4匹马，每人卖 匹马。金数与人数相互联系，表达的方式不同，计算出的数值却是相同的。）
今有田广三步三分步之一，纵五步五分步之二。问：为田几何？
答曰：十八步。
又有田广七步四分步之三，纵十五步九分步之五。问：为田几何？
答曰：一百二十步九分步之五。
又有田广十八步七分步之五，纵二十三步十一分步之六。问：为田几何？
答曰：一亩二百步十一分步之七。
大广田臣淳风等谨按：大广田知，初术直有全步而无余分，次术空有余分而无全步；此术先见全步复有余分，可以广兼三术，故曰大广。 术曰：分母各乘其全，分子从之[1] ，“分母各乘其全，分子从之”者，通全步纳分子，如此则母、子皆为实矣。 相乘为实。分母相乘为法。犹乘分也。 实如法而一。今为术广纵俱有分，当各自通其分。命母入者，还须出之。故令“分母相乘为法”而连除之。
注释
[1] 分母各乘其全，分子从之：假设两个分数 。大广田法则： 。
译文
现有田宽 步，长 步。问：田的面积是多少？
答：18步2 。
又有田宽 步，长 步。问：田的面积是多少？
答： 步2 。
又有田宽 步，长 步。问：田的面积是多少？
答：1亩 步2 。
大广田（李淳风注：大广田，前面的法则只有整数而没有分数，第二个法则只有分数而没有整数。本法则先有整数后有分数，兼有三种法则，这就是大广田。）法则：分母分别乘自己的整数部分，并入分子，（刘徽注：“分母分别乘自己的整数部分，并入分子”，是使整数部分通分，再加入分子，这样分母、分子都化为被除数了。）所得的数相乘作为被除数。分母相乘作为除数。（刘徽注：就像分数乘法法则一样。）被除数除以除数。（刘徽注：本法则宽和长都有分数，应当先各自通分，分母并入分子的部分，还需要去除。所以“分母相乘作为除数”连在一起去除。）
今有圭田，广十二步[1] ，正纵二十一步[2] 。问：为田几何？
答曰：一百二十六步。
又有圭田，广五步二分步之一，纵八步三分步之二。问：为田几何？
答曰：二十三步六分步之五。
术曰：半广以乘正纵[3] 。半广知，以盈补虚为直田也。亦可半正纵以乘广[4] 。按半广乘纵，以取中平之数。故广纵相乘为积步。亩法除之，即得也。
注释
[1] 圭田：三角形田。圭，古代帝王、诸侯举行隆重仪式时所用的玉质礼器，上尖下方。
[2] 正纵：即三角形的高。
[3] 半广以乘正纵：如图1－2，假设三角形底宽为ae ，高为fc 。由于ab ＝bc ，cd ＝de ，所以有 ，则三角形面积 。
图1－2
[4] 半正纵以乘广：如图1－3，假设三角形高为eb ，底宽为ac 。由于ed ＝db ，所以有 ，则三角形面积 。
图1－3
译文
现有三角形田，底宽12步，高21步。问：田的面积是多少？
答：126步2 。
又有三角形田，底宽 步，高 步。问：田的面积是多少？
答： 步2 。
三角形田法则：半底宽乘高。（刘徽注：取半底宽，是为了用多余的部分填补不足的部分，将三角形田化为长方形田。也可以用半高乘底宽。按照半底宽乘高，取的是底宽的平均数。所以底宽和高相乘得到积步。以亩的换算方法去除，得到亩数。）
今有斜田[1] ，一头广三十步，一头广四十二步，正纵六十四步。问：为田几何？
答曰：九亩一百四十四步。
又有斜田，正广六十五步，一畔纵一百步[2] ，一畔纵七十二步。问：为田几何？
答曰：二十三亩七十步。
术曰：并两斜而半之，以乘正纵若广。又可半正纵若广，以乘并[3] 。亩法而一。并而半之者，以盈补虚也。
注释
[1] 斜田：直角梯形田。
[2] 畔：田界。
[3] “并两斜而半之”四句：如图1－4（ɑ），假设直角梯形上底ab ，下底ce ，高ac 。由于bf ＝de ，af ＝cd ，所以直角梯形面积 。
如图1－4（b），假设直角梯形上底ab ，下底cd ，高ac 。由于af ＝fc ，ab ＝de ，所以直角梯形面积 。
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| 图1－4（ɑ） | 图1－4（b） |
译文
现有直角梯形田，上底30步，下底42步，高64步。问：田的面积是多少？
答：9亩144步2 。
又有直角梯形田，宽65步，一个纵边100步，另一纵边72步（如图1－5）。问：田的面积是多少？
答：23亩70步2 。
直角梯形田法则：上下两底相加，取半，乘高。也可以用半高，乘上下两底的和。用亩法换算。（刘徽注：取上下底和的一半，是为了用多余的部分填补不足的部分。）
图1－5
今有箕田[1] ，舌广二十步，踵广五步[2] ，正纵三十步。问：为田几何？
答曰：一亩一百三十五步。
又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正纵一百三十五步。问：为田几何？
答曰：四十六亩二百三十二步半。
术曰：并踵、舌而半之，以乘正纵。亩法而一。中分箕田则为两斜田[3] ，故其术相似。又可并踵、舌，半正纵以乘之。
注释
[1] 箕田：梯形田。箕，簸箕，一种家用器物。
[2] 踵：脚后跟。
[3] 中分箕田则为两斜田：如图1－6。梯形acdf 可分成直角梯形abde 和直角梯形bcef 。
图1－6
译文
现有梯形田，下底20步，上底5步，高30步。问：田的面积是多少？
答：1亩135步2 。
又有梯形田，下底117步，上底50步，高135步。问：田的面积是多少？
答：46亩 步2 。
梯形田法则：上、下底相加之和取半，乘高，用亩法换算。（刘徽注：将梯形田从中间分成两个直角梯形田，所以法则与上面相似。也可以上、下底相加之和，乘半高。）
今有圆田，周三十步[1] ，径十步。臣淳风等谨按：术意以周三径一为率，周三十步，合径十步。今依密率[2] ，合径九步十一分步之六。 问：为田几何？
答曰：七十五步。此于徽术[3] ，当为田七十一步一百五十七分步之一百三。臣淳风等谨依密率，为田七十一步二十二分步之一十三。
又有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一。臣淳风等谨按：周三径一，周一百八十一步，径六十步三分步之一。依密率，径五十七步二十二分步之十三。 问：为田几何？
答曰：十一亩九十步十二分步之一。此于徽术，当为田十亩二百八步三百一十四分步之一百一十三。臣淳风等谨依密率，为田十亩二百五步八十八分步之八十七。
术曰：半周半径相乘得积步[4] 。按：半周为纵，半径为广，故广纵相乘为积步也。假令圆径二尺，圆中容六觚之一面[5] ，与圆径之半，其数均等，合径率一而弧周率三也。
注释
[1] 周：周长。
[2] 密率：精密的圆周率。隋唐时圆周率取 。
[3] 徽术：徽率。刘徽计算出圆周率为 。
[4] 半周半径相乘得积步：假设圆周为C ，圆的半径为r 。圆面积 。
[5] 觚：器物的边角。
译文
现有圆形田，周长30步，直径10步。（李淳风注：意思是以周3径1为率，周长30步，直径10步。现在依照密率，直径应该是 步。）问：田的面积是多少？
答：75步2 。（刘徽注：运用徽率，应当为 步2 。李淳风注：按照密率，结果为 步2 。）
又有圆形田，周长181步，直径 步。（李淳风注：意思是以周3径1为率，周长181步，直径 步。依照密率，直径是 步）。问：田的面积是多少？
答：11亩 步2 。（刘徽注：运用徽率，应当为10亩 步2 。李淳风注：按照密率，结果为10亩 步2 。）
圆形田法则：半周半径相乘得到积步。（刘徽注：半周作为长，半径作为宽，所以宽和长相乘得到积步。假设圆的直径为2尺，圆内接一个正六边形，它的六个边与圆半径长度相等，符合周3径1率。）
又按：为图，以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。觚面之外，犹有余径，以面乘余径，则幂出弧表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。觚而裁之。以一面乘半径，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。
译文
刘徽注：如图（此图已佚。图1－7为李潢在《九章算术细草图说》中的补图），以圆内接正六边形的一边乘半径，乘以3，得到正十二边形的面积。如果把它分割，然后以十二边形的一边乘半径，乘以6，得到正二十四边形的面积。分割得越细，正多边形的面积与圆面积的差就越小。继续分割，直到不可分割为止，这时正多边形与圆重合，面积也没有差距。正多边形边的外面，还有多余的半径，以多边形的边长乘余径，再加到多边形面积上，所得结果就超出了圆面积。如果正多边形的边分割得足够多，使它与圆重合，那么就不存在余径。没有余径，多边形的面积也不会超出圆面积。将正多边形从角开始沿半径裁开，形成多个等腰三角形。以一边乘半径，所得面积总是每个等腰三角形面积的2倍。所以，以半个周长乘半径即为圆面积。
图1－7
此以周、径，谓至然之数，非周三径一之率也。周三者，从其六觚之环耳。以推圆规多少之觉，乃弓之与弦也。然世传此法，莫肯精核。学者踵古，习其谬失。不有明据，辩之斯难。凡物类形象，不圆则方。方圆之率，诚著于近[1] ，则虽远可知也。由此言之，其用博矣。谨按图验，更造密率。恐空设法，数昧而难譬[2] 。故置诸检括，谨详其记注焉。
注释
[1] 诚：实在，的确。
[2] 譬：领悟。
译文
所以，周长、半径是具体、准确的数，不是周3径1率。周3，只适用于正六边形的周长。推算正六边形的周长与圆周长的差距，就像弓和弦一样。然而世代流传的这个说法，没人去精确地核算。学习者按照古人的说法，学到了这个错误。如果没有明确的证据，很难辩证。凡是事物的形象，非圆即方。方率和圆率，目前来说作用显著，以后也是深远的。这么看来，它的应用很广。我按照图形验证，计算出精密的圆周率。由于担心空讲方法，数据模糊难以领悟，所以写出计算过程，详细记录在注释里。
割六觚以为十二觚术曰：置圆径二尺，半之为一尺，即圆里觚之面也。令半径一尺为弦，半面五寸为勾[1] ，为之求股。以勾幂二十五寸减弦幂，余七十五寸。开方除之，下至秒、忽[2] 。又一退法，求其微数。微数无名知以为分子，以十为分母，约作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二。以减半径，余一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三，谓之小勾。觚之半面又谓之小股。为之求弦。其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽，余分弃之。开方除之，即十二觚之一面也。
注释
[1] 寸：长度单位。10寸为1尺，10尺为1丈。
[2] 秒：古代长度单位。1寸的万分之一。忽：古代长度单位。10忽为1秒，10秒为1毫，10毫为1厘，10厘为1分，10分为1寸。
译文
将圆内接正六边形分割为圆内接正十二边形法则：假设圆直径2尺，半径就是1尺，同时也是正六边形的一边。使半径1尺作为直角边的弦，半个边长5寸作为勾，求股。弦的平方减去勾的平方25寸2 ，剩余75寸2 。开方，精确到秒、忽。又一退法，求它的微数。微数作为分子，10作为分母，约简为 忽。所以算得股长8寸6分6厘2秒 忽。以它减半径，余1寸3分3厘9毫7秒 忽，称为小勾。正六边形的半个边长又称为小股。可以求小弦。它的平方是267949193445忽2 ，剩余分数舍弃。对它开方，所得即为正十二边形的一边的长度。
割十二觚以为二十四觚术曰：亦令半径为弦，半面为勾，为之求股。置上小弦幂，四而一，得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽，余分弃之，即勾幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之四。以减半径，余三分四厘七秒四忽五分忽之一，谓之小勾。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽，余分弃之。开方除之，即二十四觚之一面也。
译文
将圆内接正十二边形分割为圆内接正二十四边形法则：使半径作为弦，半个边长作为勾，求股。将上面求得小弦的平方值除以4，得66987298361忽2 ，剩余分数舍弃，即为勾的平方。以它减弦的平方，余数作开方除法，得股9寸6分5厘9毫2秒 忽。以它减半径，余3分4厘7秒 忽，称为小勾。正十二边形的半个边长又称为小股。可以求小弦。它的平方是68148349466忽2 ，剩余分数舍弃。对它开方，所得即为正二十四边形的一边的长度。
割二十四觚以为四十八觚术曰：亦令半径为弦，半面为勾，为之求股。置上小弦幂，四而一，得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽，余分弃之，即勾幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之四。以减半径，余八厘五毫五秒五忽五分忽之一，谓之小勾。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽，余分弃之。开方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，余分弃之，即四十八觚之一面。以半径一尺乘之，又以二十四乘之，得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽。以百亿除之，得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之幂也。
译文
将圆内接正二十四边形分割为圆内接正四十八边形法则：同样使半径作为弦，半个边长作为勾，求股。将上面求得小弦的平方值除以4，得17037087366忽2 ，剩余分数舍弃，即为勾的平方。以它减弦的平方，余数开方，得股9寸9分1厘4毫4秒 忽。以它减半径，余8厘5毫5秒 忽，称为小勾。正二十四边形的半个边长又称为小股。可以求小弦。它的平方是17110278813忽2 ，剩余分数舍弃。对它作开方除法，得小弦1寸3分8毫6忽，剩余分数舍弃，即为正四十八边形的一边的长度。用半径1尺乘之，再乘24，得平方值3139344000000忽2 ，除以10000000000，得平方值 寸2 ，即为正九十六边形的面积。
割四十八觚以为九十六觚术曰：亦令半径为弦，半面为勾，为之求股。置次上弦幂，四而一，得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽，余分弃之，则勾幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九。以减半径，余二厘一毫四秒一忽十分忽之一，谓之小勾。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽，余分弃之。开方除之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，余分弃之，即九十六觚之一面。以半径一尺乘之，又以四十八乘之，得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽。以百亿除之，得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之幂也。以九十六觚之幂减之，余六百二十五分寸之一百五，谓之差幂。倍之，为分寸之二百一十，即九十六觚之外弧田九十六，所谓以弦乘矢之凡幂也。加此幂于九十六觚之幂，得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，则出于圆之表矣。故还就一百九十二觚之全幂三百一十四寸，以为圆幂之定率而弃其余分。
译文
将圆内接正四十八边形分割为圆内接正九十六边形法则：同样使半径作为弦，半个边长作为勾，求股。将上面求得小弦的平方值除以4，得4277569703忽2 ，剩余分数舍弃，即为勾的平方。以它减弦的平方，余数作开方除法，得股9寸9分7厘8毫5秒 忽。以它减半径，余2厘1毫4秒 忽，称为小勾。正四十八边形的半个边长又称为小股。可以求小弦。它的平方是4282154012忽2 ，剩余分数舍弃。对它作开方除法，得小弦6分5厘4毫3秒8忽，剩余分数舍弃，即为正九十六边形一边的长度。用半径1尺乘之，再乘48，得平方值3141024000000忽2 ，除以10000000000，得平方值 寸2 ，即为正一百九十二边形的面积。以正九十六边形面积减之，余 寸2 ，称为差幂。将其加倍，为 寸2 ，是正九十六边形之外的96块弧上的田的面积，即以弦乘余径的总面积。把这个面积加到正九十六边形的面积上，得 寸2 ，超出了圆的面积。所以还是舍弃剩余的分数，以正一百九十二边形的面积314寸2 作为圆面积定率。
以半径一尺除圆幂，倍所得，六尺二寸八分，即周数。令径自乘为方幂四百寸，与圆幂相折，圆幂得一百五十七为率，方幂得二百为率。方幂二百，其中容圆幂一百五十七也。圆率犹为微少。按：弧田图令方中容圆，圆中容方，内方合外方之半。然则圆幂一百五十七，其中容方幂一百也。又令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五十，则其相与之率也。周率犹为微少也。
译文
圆面积除以半径1尺，所得数加倍，得6尺2寸8分，即周长。将直径自乘，得圆外切正方形面积400寸2 ，与圆面积相比，得圆面积率为157，方面积率为200。方面积率200，其中包含圆面积率157。圆面积率稍微小。按：弧田图中，在正方形中做内切圆，圆中有内接正方形，内接正方形的面积是外切正方形面积的一半。所以圆面积为157，内接正方形面积为100。又将直径2尺与周长6尺2寸8分相约，圆周得157，直径得50，这是它们的最简之比。周率也稍微小一点。
晋武库中汉时王莽作铜斛[1] ，其铭曰：律嘉量斛[2] ，内方尺而圆其外，庣旁九厘五毫[3] ，幂一百六十二寸，深一尺，积一千六百二十寸，容十斗。以此术求之，得幂一百六十一寸有奇[4] ，其数相近矣。此术微少。而觚差幂六百二十五分寸之一百五。以一百九十二觚之幂为率消息，当取此分寸之三十六，以增于一百九十二觚之幂，以为圆幂，三百一十四寸二十五分寸之四。置径自乘之方幂四百寸，令与圆幂通相约，圆幂三千九百二十七，方幂得五千，是为率。方幂五千中容圆幂三千九百二十七；圆幂三千九百二十七中容方幂二千五百也。以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四，倍所得，六尺二寸八分二十五分分之八，即周数也。全径二尺与周数通相约，径得一千二百五十，周得三千九百二十七，即其相与之率。若此者，盖尽其纤微矣。举而用之，上法为约耳。当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，而裁其微分，数亦宜然，重其验耳。
注释
[1] 斛hú：量器名，亦量名。古代十斗为一斛，南宋末年改为五斗为一斛，两斛为一石。
[2] 律：法令，法律。嘉量：古代标准量器。有鬴、豆、升三量。汉王莽改制，始建国元年颁新嘉量，合斛、斗、升、合、龠为一器。器上部为斛，下部为斗，左耳为升，右耳为合、龠。
[3] 庣tiāo：凹下或不满的地方。
[4] 奇：奇零。不满整数的数。
译文
晋代武库中有汉朝王莽所制铜斛，上有铭文：法定标准量器斛。内部方形外部圆形，庣旁9厘5毫，面积162寸2 ，深1尺，容积1620寸3 ，容量10斗。用刚才推算出的数据计算，得面积161寸2 ，有奇零。与上面得数相近。这样算出的数值稍微小一点，圆内接正一百九十二边形与正九十六边形面积差是 寸2 。以正一百九十二边形的面积作为求率时增减的基础，取 寸2 ，加到正一百九十二边形的面积上，作为圆面积，为 寸2 。将直径自乘得正方形面积400寸2 ，使之与圆面积相约，圆面积3927，正方形面积5000，这是方圆率。正方形面积5000中含有内接圆面积3927，内接圆面积3927中含有内接正方形面积2500。圆面积 寸2 除以半径1尺，再使之加倍，6尺2寸 分，就是周长。直径2尺与周长相约，直径得1250，周长得3927，是它们的最简之比。这样算的话，已经相当精确细微。如果应用，上一个方法相对简约。求正一千五百三十六边形的边长，得到正三千零七十二边形的面积，裁掉微小分数，数值也应该这样，又一次得到验证。
臣淳风等谨按：旧术求圆，皆以周三径一为率。若用之求圆周之数，则周少径多。用之求其六觚之田，乃与此率合会耳。何则？假令六觚之田，觚间各一尺为面，自然从角至角，其径二尺可知。此则周六径二与周三径一已合。恐此犹以难晓，今更引物为喻。设令刻物作圭形者六枚，枚别三面，皆长一尺。攒此六物，悉使锐头向里，则成六觚之周，角径亦皆一尺。更从觚角外畔，围绕为规，则六觚之径尽达规矣。当面径短，不至外规。若以径言之，则为规六尺，径二尺，面径皆一尺。面径股不至外畔，定无二尺可知。故周三径一之率于圆周乃是径多周少。径一周三，理非精密。盖术从简要，举大纲略而言之。刘徽将以为疏，遂乃改张其率。但周、径相乘，数难契合。徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也。祖冲之以其不精，就中更推其数。今者修撰，攈摭诸家[1] ，考其是非，冲之为密。故显之于徽术之下，冀学者之所裁焉。
注释
[1] 攈摭jùn zhí：亦作“攟摭”，摘取，搜集。
译文
李淳风注：用旧法求圆，都以周3径1为率。如果用它求圆周的值，得数圆周少，直径多。用它求正六边形的田却能符合。这是为什么呢？假设正六边形田，各角之间边长1尺，自然可以得出两角之间的直径是2尺。于是周6径2，与周3径1相合。担心这样讲仍难以理解，现在引用事物做比喻。假设刻三角形物品6枚，每枚有三条边，边长皆1尺。将这6枚物品集中，全部使一角向里，于是形成一个正六边形，两角间长度1尺。再沿着角的外侧，围绕成圆弧，经过六个角的直径全部达到圆弧上。正六边形对面两条边之间的距离短，达不到圆弧。以直径而言，为圆弧长6尺，直径2尺，边长1尺。对面两条边之间的距离达不到圆弧，可以知道肯定不足2尺。所以周3径1率用来计算圆周则是直径多圆周少。径1周3，理论上讲不是很精密。应该是计算法则为遵从简要原则，根据纲领简略地表示的缘故。刘徽认为太粗略，于是改变率。但周长、直径相乘，数值难以契合。刘徽虽然提出两个方法，但最终没能做到细微的精确。祖冲之因为其值不精密，进一步推导计算。现在修撰，收集各家学说，考察正误，祖冲之的计算最精密。所以将它附在刘徽的方法之后，希望学习者有所判断。
又术曰：周、径相乘，四而一[1] 。此周与上弧同耳。周、径相乘各当以半，而今周、径两全，故两母相乘为四，以报除之。于徽术，以五十乘周，一百五十七而一，即径也。以一百五十七乘径，五十而一，即周也。新术径率犹当微少。据周以求径，则失之长；据径以求周，则失之短。诸据见径以求幂者，皆失之于微少；据周以求幂者，皆失之于微多。臣淳风等谨按：依密率，以七乘周，二十二而一，即径；以二十二乘径，七而一，即周。依术求之，即得。
注释
[1] 周、径相乘，四而一：假设圆周为C ，圆的直径为d 。另一法则中，圆面积 。
译文
法则：圆周、直径相乘，除以4。（刘徽注：该周长与上面提到的圆内接多边形意义相同。周长、直径相乘应当各取一半，但是现在周长、直径都是完整的，所以它们的分母相乘应该为4，以作报除。如果用徽率，周长乘以50，除以157，所得即为直径。直径乘以157，除以50，即为圆周。新方法得出的直径的率应该小一点。根据圆周求直径，所得的不精密之处在于数值大了点；根据直径求周长，所得的不精密之处在于数值小了点。根据直径求面积，所得的不精密之处在于微小；根据周长求面积，所得的不精密之处在于微大。李淳风注：依照密率，周长乘以7，除以22，即为直径；直径乘以22，除以7，即为周长。按照这个法则，即可得到答案。）
又术曰：径自相乘，三之，四而一[1] 。按：圆径自乘为外方。“三之，四而一”者，是为圆居外方四分之三也。若令六觚之一面乘半径，其幂即外方四分之一也。因而三之，即亦居外方四分之三也，是为圆里十二觚之幂耳。取以为圆，失之于微少。于徽新术，当径自乘，又以一百五十七乘之，二百而一。臣淳风等谨按：密率，令径自乘，以十一乘之，十四而一，即圆幂也。
注释
[1] 径自相乘，三之，四而一：假设圆周为C ，圆的直径为d 。另一法则中，圆面积 。
译文
法则：直径自乘，乘以3，除以4。（刘徽注：圆的直径自乘得到圆外切正方形的面积。“乘以3，除以4”，是因为圆面积是外切正方形面积的 。如果使圆内接正六边形的一边乘以半径，所得面积为外切正方形面积的 。所以乘以3，即外切正方形面积的 ，也是圆内接正十二边形的面积。取这个值作为圆面积，不精密之处在于稍微小了一点。运用徽率，应当是直径自乘，乘以157，除以200。李淳风注：依照密率，使直径自乘，乘以11，除以14，即为圆面积。）
又术曰：周自相乘，十二而一[1] 。六觚之周，其于圆径，三与一也。故六觚之周自相乘为幂，若圆径自乘者九方，九方凡为十二觚者十有二，故曰十二而一，即十二觚之幂也。今此令周自乘，非但若为圆径自乘者九方而已。然则十二而一，所得又非十二觚之类也。若欲以为圆幂，失之于多矣。以六觚之周自乘，十二而一可也。于徽新术，直令圆周自乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得圆幂。其率：二十五者，圆幂也；三百一十四者，周自乘之幂也。置周数六尺二寸八分，令自乘，得幂三十九万四千三百八十四分，又置圆幂三万一千四百分，皆以一千二百五十六约之，得此率。臣淳风等谨按：方面自乘即得其积。圆周求其幂，假率乃通。但此术所求用三、一为率。圆田正法，半周及半径以相乘。今乃用全周自乘，故须以十二为母。何者？据全周而求半周，则须以二为法；就全周而求半径，复假六以除之。是二、六相乘，除周自乘之数。依密率，以七乘之，八十八而一。
注释
[1] 周自相乘，十二而一：假设圆周为C 。另一法则中，圆面积 。
译文
法则：圆周自乘，除以12。（刘徽注：圆内接正六边形的周长与圆的直径相比，是3：1。所以圆内接正六边形的周长自乘所得面积，是圆的直径自乘所得面积的9倍，相当于12个正十二边形，所以除以12，得到一个正十二边形的面积。现在使周长自乘，不但不是直径自乘的9倍。那么，除以12，也不是正十二边形的面积。如果将它作为圆面积，不精密之处在于数值多了些。用正六边形的周长自乘，除以12是可以的。运用徽率，直接使圆周自乘，乘以25，除以314，得到圆面积。它们的率：圆面积25，周长自乘面积314。假设周长6尺2寸8分，将它自乘，得到面积394384分2 ，又设圆面积31400分2 ，以1256约简，得到这个率。李淳风注：用正方形边长自乘，得到正方形面积。用圆周求圆面积，借助圆周率就可以。但是本法则中使用周3径1率。圆形田法则，用半个周长与半径相乘。现在用的是整个周长自乘，所以应该除以12。为什么呢？根据全周长求半周长，需要除以2；根据全周长求半径，需要除以6。所以2与6自乘后，去除周长自乘得数。依照密率，乘以7，除以88。）
今有宛田[1] ，下周三十步[2] ，径十六步[3] 。问：为田几何？
答曰：一百二十步。
又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问：为田几何？
答曰：五亩六十二步四分步之一。
术曰：以径乘周，四而一。此术不验。故推方锥以见其形。假令方锥下方六尺，高四尺。四尺为股，下方之半三尺为勾，正面斜为弦，弦五尺也。令勾、弦相乘，四因之，得六十尺，即方锥四面见者之幂。若令其中容圆锥，圆锥见幂与方锥见幂，其率犹圆幂之与方幂也。按：方锥下方六尺，则方周二十四尺，以五尺乘而半之，则亦方锥之见幂。故求圆锥之数，折径以乘下周之半，即圆锥之幂也。今宛田上径圆穹，而与圆锥同术，则幂失之于少矣。然其术难用，故略举大较，施之大广田也。求圆锥之幂，犹求圆田之幂也。今用两全相乘，故以为法，除之，亦如圆田矣。开立圆术说圆方诸率甚备，可以验此。
注释
[1] 宛田：中央隆起的田，类似于球冠。宛，屈曲。
[2] 下周：下底的周长。
[3] 径：宛田的径指的是穿过球冠下底直径的两端点和顶心的弧。如图1－8。下周为l2 ，径为穿过点a 、点O ′、点b 的弧l1 。
图1－8
译文
现有宛田，下周长30步，穹径16步。问：田的面积是多少？
答：120步2 。
又有宛田，下周长99步，穹径51步。问：田的面积是多少？
答：5亩 步2 。
宛田法则：下周长乘以穹径，除以4。（刘徽注：本法则不正确。所以现在推算方锥用以证明。假设方锥下底长6尺，高4尺。以4尺作为股，下底长的一半3尺作为勾，斜面上的高为弦，则弦5尺。将勾、弦相乘，乘以4，得60尺2 ，即为方锥四个面的面积。如果内部有内切圆锥，那么圆锥的侧面积与方锥的侧面积，它们的率就像内切圆的面积与正方形的面积。按：方锥下底长6尺，所以周长为24尺，乘以5尺，取半，即方锥的侧面积。所以求圆锥的侧面积，取一半穹径，乘一半下周长，就是圆锥的面积。现宛田的径是球冠上的一段圆弧，却和圆锥用同样的法则，得出的面积数值会小。然而这一方法使用较复杂，所以只是略举大概，适用于面积较广的田地。求圆锥的侧面积，如同求圆的面积。现在由于用全周长、直径，所以需要除以4，道理同圆形田。开立圆法则中关于圆率、方率等表述很详细，可以验证这里说的方法。
今有弧田[1] ，弦三十步，矢十五步。问：为田几何？
答曰：一亩九十七步半。
又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。问：为田几何？
答曰：二亩一百五十五步八十一分步之五十六。
术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一[2] 。方中之圆，圆里十二觚之幂，合外方之幂四分之三也。中方合外方之半，则朱青合外方四分之一也[3] 。弧田，半圆之幂也，故依半圆之体而为之术。以弦乘矢而半之则为黄幂，矢自乘而半之为二青幂。青、黄相连为弧体。弧体法当应规。今觚面不至外畔，失之于少矣。圆田旧术以周三径一为率，俱得十二觚之幂，亦失之于少也。与此相似，指验半圆之弧耳。若不满半圆者，益复疏阔。
注释
[1] 弧田：弓形田。
[2] 以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一：假设弓形弦为d1 ，矢为d2 ，弓形面积 。
[3] 图已佚。图1－9为戴震补图。
图1－9
译文
现有弓形田，弦30步，矢15步。问：田的面积是多少？
答：1亩 步2 。
又有弓形田，弦 步，矢 步。问：田的面积是多少？
答：2亩 步2 。
弓形田法则：以弦乘矢，矢自乘，相加求和，除以2。（刘徽注：正方形中有内切圆，圆内接正十二边形的面积，是外切正方形的 。圆内接正方形面积是外切正方形面积的一半，则朱青图形的面积是外切正方形面积的 。弓形田，半圆的面积，所以依照半圆计算面积。弦乘矢取半是黄色图形的面积，矢自乘取半是两块青色图形的面积之和。青色、黄色图形相连是弧体。弧体应当和圆弧同理。现在多边形的边不能达到外侧边界，所以所得数值偏小。圆形田法则用周3径1率，都求得内接正十二边形的面积，所得数值也偏小。与本法则相似，只检验了半圆形弧田。如果图形不足半圆，就更有疏漏了。）
宜依勾股锯圆材之术，以弧弦为锯道长，以矢为锯深，而求其径[1] 。既知圆径，则弧可割分也。割之者，半弧田之弦以为股，其矢为勾，为之求弦，即小弧之弦也。以半小弧之弦为勾，半圆径为弦，为之求股，以减半径，其余即小弧之矢也。割之又割，使至极细。但举弦、矢相乘之数，则必近密率矣。然于算数差繁，必欲有所寻究也。若但度田，取其大数，旧术为约耳。
注释
[1] 如图1－10，假设弧的弦为ab ，矢为OO ′，弦所在圆的半径为aO ″。由弧的弦aO 为股，O ′O 为勾，利用勾股定理可求出aO ′。 ，由ad 为勾，aO ″为弦，利用勾股定理可求出dO ″。cd 为小弓形的矢。
图1－10
译文
应依照勾股章里锯圆材问题的解法处理，将弧的弦作为锯道长，矢作为锯道深，求弧所在圆的直径。已知圆的直径，弧就可以分割求解。将半个弓形的弦作为股，矢作为勾，求弦，即为小弓形的弦。以半个小弓形的弦作为勾，圆的半径作为弦，求股。半径减去所得的股，余数是小弓形的矢。反复分割，直到极其细微。这时列出弦、矢相乘所得数值，必定十分接近密率。然而算法复杂，想要有所研究才会采取这种算法。如果只是测算田地，取大约的数值，按照旧方法就比较简便了。
今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步[1] 。此欲令与周三径一之率相应，故言径五步也。据中、外周，以徽术言之，当径四步一百五十七分步之一百二十二也。臣淳风等谨按：依密率，合径四步二十二分步之十七。 问：为田几何？
答曰：二亩五十五步。于徽术，当为田二亩三十一步一百五十七分步之二十三。臣淳风等依密率，为田二亩三十步二十二分步之十五。
又有环田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，径十二步三分步之二。此田环而不通匝[2] ，故径十二步三分步之二。若据上周求径者，此径失之于多，过周三径一之率，盖为疏矣。于徽术，当径八步六百二十八分步之五十一。臣淳风等谨按：依周三径一考之，合径八步二十四分步之一十一。依密率，合径八步一百七十六分步之一十三。 问：为田几何？
答曰：四亩一百五十六步四分步之一。于徽术，当为田二亩二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。依周三径一，为田三亩二十五步六十四分步之二十五。臣淳风等谨按密率，为田二亩二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。
术曰：并中、外周而半之，以径乘之，为积步[3] 。此田截而中之周则为长。并而半之知，亦以盈补虚也。此可令中、外周各自为圆田，以中圆减外圆，余则环实也。
注释
[1] 径：环形田的径为中、外周之间的宽。
[2] 匝：环绕一周叫一匝。
[3] 如图1－11。假设环形中周C1 ，外周C2 ，环径d 。环形面积 。
图1－11
译文
现有环形田，中周92步，外周122步，环径5步。（刘徽注：题目想要与周3径1率相对应，所以说环径5步。根据中、外周，运用徽率，环径应当是 步。李淳风注：依照密率，环径应当是 步。）问：田的面积是多少？
答：2亩55步2 。（刘徽注：用徽率，田的面积应当是2亩 步2 。李淳风注：依照密率，田的面积应当是2亩 步2 。）
又有环形田，中周 步，外周 步，环径 步。（刘徽注：这个环不足一周，所以环径为 步。如果根据上面的周长求环径，那么得出的数值偏大，超过了周3径1率，太粗糙了。用徽率，环径应是 步。李淳风注：依照周3径1率计算，环径应当是 步。依照密率，环径应当是 步。）问：田的面积是多少？
答：4亩 步2 。（刘徽注：用徽率，田的面积应当是2亩 步2 。依照周3径1率，田的面积应当是2亩 步2 。李淳风注：依照密率，田的面积应当是2亩 步2 。）
环形田法则：中、外周之和取半，乘以环径，得到积步。（刘徽注：田地截中、外周得到平均周长，作为长。相加取半的目的是以盈补虚。也可以将中、外周各自看成是圆形田，外周面积减去中周面积，余数就是环形田的面积。）
密率术曰：置中、外周步数，分母、子各居其下。母互乘子，通全步，纳分子。以中周减外周，余半之，以益中周。径亦通分纳子，以乘周为密实。分母相乘为法。除之为积步，余，积步之分。以亩法除之，即亩数也。按：此术，并中、外周步数于上，分母、子于下。母互乘子者，为中、外周俱有分，故以互乘齐其子，母相乘同其母。子齐母同，故通全步，纳分子。“半之”知，以盈补虚，得中平之周。周则为纵，径则为广，故广、纵相乘而得其积。既合分母，还须分母出之，故令周、径分母相乘而连除之，即得积步。不尽，以等数除之而命分。以亩法除积步，得亩数也。
译文
密率法则：设置中、外周的步数，分母、分子居下。分母互乘分子，整数步数通分，并入分子。外周减去中周，余数取半，加到中周上。环径也通分并入分子，乘周长作为被除数。分母相乘作为除数。被除数除以除数，得到积步。余数是积步的分数。用亩法换算，得到亩数。（刘徽注：本法则，将中、外周的步数相加记在上方，分母、分子记在下方。分母互乘分子，是因为中、外周皆含有分数，所以互乘使分子相齐，分母相乘相同。分子相齐分母相同后，整数部分可以通分，并入分子。“取半”是为了以盈补虚，得到平均周长。周长作为长，环径作为宽，所以宽、长相乘得到积步。既然分子中融合了分母，还需要把分母分离出去，所以使周、径分母相乘，合起来除，就得到积步。如果除不尽，以等数除，取分数。得到的积步用亩法换算，得到亩数。）
