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移除书签卷第四 少广
少广以御积幂方圆
少广臣淳风等谨按：一亩之田，广一步，长二百四十步。今欲截取其纵少，以益其广，故曰少广。 术曰：置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步，臣淳风等谨按：以分母乘全者，通其分也；以母乘子者，齐其子也。 各以其母除其子，置之于左；命通分者，又以分母遍乘诸分子及已通者，皆通而同之。并之为法。臣淳风等谨按：诸子悉通，故可并之为法。亦宜用合分术，列数尤多。若用乘则算数至繁，故别制此术，从省约。 置所求步数，以全步积分乘之为实。此以田广为法，以亩积步为实。法有分者，当同其母，齐其子，以同乘法实，而并齐于法。今以分母乘全步及子，子如母而一，并以并全法，则法实俱长，意亦等也。故如法而一，得纵步数。 实如法而一，得纵步。
译文
少广（刘徽注：用来处理方形和圆形的面积和体积问题。）
少广（李淳风注：1亩田，宽1步，长240步。现在想要截取长度，增加到宽度上，这就是少广。）法则：列出步数的整数部分及分母分子，用最大的分母乘每个分子及整数部分，（李淳风注：用分母乘整数部分是为了通分；用分母乘分子是为了使分子相齐。）各分子除以其分母，置于左边；通分，又用其次的分母乘每个分子和已经通分的数，使分母通过通分而相同。并将它们相加之和作为除数。（李淳风注：各分子相通，可以相加作为除数。也可以用分数加法法则，只是数的个数太多。如果用乘法算法就比较复杂，所以为了计算简便，特意制定本法则。）列出所求步数，乘以整数部分的积分作为被除数。（刘徽注：本法则以田的宽作为除数，以亩的积步作为被除数。如果除数有分数，应该使分母相同，分子相齐，以同乘除数和被除数，相加齐作为除数。现用分母乘步数的整数部分和分子，分子除以分母，加入全部除数中，所以除数和被除数共同增长，数值相等。所以除以除数，得到长的步数。）被除数除以除数，得到长的步数。
今有田广一步半。求田一亩，问：纵几何？
答曰：一百六十步。
术曰：下有半，是二分之一。以一为二，半为一，并之得三，为法。置田二百四十步，亦以一为二乘之，为实。实如法得纵步。
今有田广一步半、三分步之一。求田一亩，问：纵几何？
答曰：一百三十步一十一分步之一十。
术曰：下有三分，以一为六，半为三，三分之一为二，并之得一十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为六乘之，为实。实如法得纵步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一。求田一亩，问：纵几何？
答曰：一百一十五步五分步之一。
术曰：下有四分，以一为一十二，半为六，三分之一为四，四分之一为三，并之得二十五，以为法。置田二百四十步，亦以一为一十二乘之，为实。实如法而一，得纵步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一亩，问：纵几何？
答曰：一百五步一百三十七分步之一十五。
术曰：下有五分，以一为六十，半为三十，三分之一为二十，四分之一为一十五，五分之一为一十二，并之得一百三十七，以为法。置田二百四十步，亦以一为六十乘之，为实。实如法得纵步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一亩，问：纵几何？
答曰：九十七步四十九分步之四十七。
术曰：下有六分，以一为一百二十，半为六十，三分之一为四十，四分之一为三十，五分之一为二十四，六分之一为二十，并之得二百九十四，以为法。置田二百四十步，亦以一为一百二十乘之，为实。实如法得纵步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一亩，问：纵几何？
答曰：九十二步一百二十一分步之六十八。
术曰：下有七分，以一为四百二十，半为二百一十，三分之一为一百四十，四分之一为一百五，五分之一为八十四，六分之一为七十，七分之一为六十，并之得一千八十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为四百二十乘之，为实。实如法得纵步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一亩，问：纵几何？
答曰：八十八步七百六十一分步之二百三十二。
术曰：下有八分，以一为八百四十，半为四百二十，三分之一为二百八十，四分之一为二百一十，五分之一为一百六十八，六分之一为一百四十，七分之一为一百二十，八分之一为一百五，并之得二千二百八十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八百四十乘之，为实。实如法得纵步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一亩，问：纵几何？
答曰：八十四步七千一百二十九分步之五千九百六十四。
术曰：下有九分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，并之得七千一百二十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得纵步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一亩，问：纵几何？
答曰：八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。
术曰：下有一十分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，十分之一为二百五十二，并之得七千三百八十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得纵步。
今有田广一步半、三分步之一、四分之步一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一亩，问：纵几何？
答曰：七十九步八万三千七百一十一分步之三万九千六百三十一。
术曰：下有一十一分，以一为二万七千七百二十，半为一万三千八百六十，三分之一为九千二百四十，四分之一为六千九百三十，五分之一为五千五百四十四，六分之一为四千六百二十，七分之一为三千九百六十，八分之一为三千四百六十五，九分之一为三千八十，一十分之一为二千七百七十二，一十一分之一为二千五百二十，并之得八万三千七百一十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二万七千七百二十乘之，为实。实如法得纵步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一，五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一亩，问：纵几何？
答曰：七十七步八万六千二十一分步之二万九千一百八十三。
术曰：下有一十二分，以一为八万三千一百六十，半为四万一千五百八十，三分之一为二万七千七百二十，四分之一为二万七百九十，五分之一为一万六千六百三十二，六分之一为一万三千八百六十，七分之一为一万一千八百八十，八分之一为一万三百九十五，九分之一为九千二百四十，一十分之一为八千三百一十六，十一分之一为七千五百六十，十二分之一为六千九百三十，并之得二十五万八千六十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八万三千一百六十乘之，为实。实如法得纵步。臣淳风等谨按：凡为术之意，约省为善。宜云“下有一十二分，以一为二万七千七百二十，半为一万三千八百六十，三分之一为九千二百四十，四分之一为六千九百三十，五分之一为五千五百四十四，六分之一为四千六百二十，七分之一为三千九百六十，八分之一为三千四百六十五，九分之一为三千八十，十分之一为二千七百七十二，十一分之一为二千五百二十，十二分之一为二千三百一十，并之得八万六千二十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二万七千七百二十乘之，以为实。实如法得纵步。”其术亦得知，不繁也。
译文
现有田宽
步。已知田的面积是1亩，问：田的长是多少？
答：160步。
解法：下有半，即 。将1化成2， 化成1，相加得3，作为除数。将田的面积240步2 ，也按照1化成2相乘，作为被除数。被除数除以除数，得到田的长的步数。
现有田宽 步、加 步。已知田的面积是1亩，问：田的长是多少？
答： 步。
解法：下有分母3。将1化成6， 化成3， 化成2。相加得11，作为除数。将田的面积240步2 ，也按照1化成6相乘，作为被除数。被除数除以除数，得到田的长的步数。
现有田宽 步、加 步、 步。已知田的面积是1亩，问：田的长是多少？
答： 步。
解法：下有分母4。将1化成12， 化成6， 化成4， 化成3。相加得25，作为除数。将田的面积240步2 ，也按照1化成12相乘，作为被除数。被除数除以除数，得到田的长的步数。
现有田宽 步、加 步、 步、 步。已知田的面积是1亩，问：田的长是多少？
答： 步。
解法：下有分母5。将1化成60， 化成30， 化成20， 化成15， 化成12。相加得137，作为除数。将田的面积240步2 ，也按照1化成60相乘，作为被除数。被除数除以除数，得到田的长的步数。
现有田宽 步、加 步、 步、 步、 步。已知田的面积是1亩，问：田的长是多少？
答： 步。
解法：下有分母6。将1化成120， 化成60， 化成40， 化成30， 化成24， 化成20。相加得294，作为除数。将田的面积240步2 ，也按照1化成120相乘，作为被除数。被除数除以除数，得到田的长的步数。
现有田宽 步、加 步、 步、 步、 步、 步。已知田的面积是1亩，问：田的长是多少？
答： 步。
解法：下有分母7。将1化成420， 化成210， 化成140， 化成105， 化成84， 化成70， 化成60。相加得1089，作为除数。将田的面积240步2 ，也按照1化成420相乘，作为被除数。被除数除以除数，得到田的长的步数。
现有田宽 步、加 步、 步、 步、 步、 步、 步。已知田的面积是1亩，问：田的长是多少？
答： 步。
解法：下有分母8。将1化成840， 化成420， 化成280， 化成210， 化成168， 化成140， 化成120， 化成105。相加得2283，作为除数。将田的面积240步2 ，也按照1化成840相乘，作为被除数。被除数除以除数，得到田的长的步数。
现有田宽 步、加 步、 步、 步、 步、 步、 步、 步。已知田的面积是1亩，问：田的长是多少？
答： 步。
解法：下有分母9。将1化成2520， 化成1260， 化成840， 化成630， 化成504， 化成420， 化成360， 化成315， 化成280。相加得7129，作为除数。将田的面积240步2 ，也按照1化成2520相乘，作为被除数。被除数除以除数，得到田的长的步数。
现有田宽 步、加 步、 步、 步、 步、 步、 步、 步、 步。已知田的面积是1亩，问：田的长是多少？
答： 步。
解法：下有分母10。将1化成2520， 化成1260， 化成840， 化成630， 化成504， 化成420， 化成360， 化成315， 化成280， 化成252。相加得7381，作为除数。将田的面积240步2 ，也按照1化成2520相乘，作为被除数。被除数除以除数，得到田的长的步数。
现有田宽 步、加 步、 步、 步、 步、 步、 步、 步、 步、 步。已知田的面积是1亩，问：田的长是多少？
答： 步。
解法：下有分母11。将1化成27720， 化成13860， 化成9240， 化成6930， 化成5544， 化成4620， 化成3960， 化成3465， 化成3080， 化成2772， 化成2520。相加得83711，作为除数。将田的面积240步2 ，也按照1化成27720相乘，作为被除数。被除数除以除数，得到田的长的步数。
现有田宽 步、加 步、 步、 步、 步、 步、 步、 步、 步、 步、 步。已知田的面积是1亩，问：田的长是多少？
答： 步。
解法：下有分母12。将1化成83160， 化成41580， 化成27720， 化成20790， 化成16632， 化成13860， 化成11880， 化成10395， 化成9240， 化成8316， 化成7560， 化成6930。相加得258063，作为除数。将田的面积240步2 ，也按照1化成83160相乘，作为被除数。被除数除以除数，得到田的长的步数。（李淳风注：算术的本意是，简便最好。解法最好为“下有分母12。将1化成27720， 化成13860， 化成9240， 化成6930， 化成5544， 化成4620， 化成3960， 化成3465， 化成3080， 化成2772， 化成2520， 化成2310。相加得86021，作为除数。将田的面积240步2 ，也按照1化成27720相乘，作为被除数。被除数除以除数，得到田的长的步数。”这种方法也可以解答，而且不烦琐。）
今有积五万五千二百二十五步。问：为方几何？
答曰：二百三十五步。
又有积二万五千二百八十一步。问：为方几何？
答曰：一百五十九步。
又有积七万一千八百二十四步。问：为方几何？
答曰：二百六十八步。
又有积五十六万四千七百五十二步四分步之一。问：为方几何？
答曰：七百五十一步半。
又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步。问：为方几何？
答曰：六万三千二十五步。
开方求方幂之一面也[1] 。术曰：置积为实。借一算[2] ，步之，超一等。言百之面十也，言万之面百也。 议所得，以一乘所借一算为法，而以除。先得黄甲之面[3] ，上下相命，是自乘而除也。 除已，倍法为定法。倍之者，豫张两面朱幂定袤[4] ，以待复除，故曰定法。 其复除，折法而下。欲除朱幂者，本当副置所得成方，倍之为定法，以折、议、乘，而以除。如是当复步之而止，乃得相命。故使就上折下。 复置借算，步之如初。以复议一乘之，欲除朱幂之角黄乙之幂，其意如初之所得也。 所得副以加定法，以除。以所得副从定法。再以黄乙之面加定法者，是则张两青幂之袤。 复除，折下如前。若开之不尽者，为不可开，当以面命之。术或有以借算加定法而命分者，虽粗相近，不可用也。凡开积为方，方之自乘当还复有积分。令不加借算而命分，则常微少；其加借算而命分，则又微多。其数不可得而定。故惟以面命之，为不失耳。譬犹以三除十，以其余为三分之一，而复其数可以举。不以面命之，加定法如前，求其微数。微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也。 若实有分者，通分纳子为定实，乃开之。讫，开其母，报除。臣淳风等谨按：分母可开者，并通之积先合二母。既开之后，一母尚存，故开分母，求一母为法，以报除也。 若母不可开者，又以母乘定实，乃开之。讫，令如母而一。臣淳风等谨按：分母不可开者，本一母也。又以母乘之，乃合二母。既开之后，亦一母存焉，故令一母而一，得全面也。
注释
[1] 面：边长。
[2] 算：这里指算筹。算筹是多根同样长短和粗细的小棍子，多用竹子制成，放在布袋里随身携带，记数和计算时使用。
[3] 黄甲、朱幂、黄乙、青幂，如图4－1。
图4－1
[4] 袤：长度。
译文
现有面积55225步2 。问：如果为正方形，边长是多少？
答：235步。
现有面积25281步2 。问：如果为正方形，边长是多少？
答：159步。
现有面积71824步2 。问：如果为正方形，边长是多少？
答：268步。
现有面积 步2 。问：如果为正方形，边长是多少？
答： 步。
现有面积3972150625步2 。问：如果为正方形，边长是多少？
答：63025步。
开方（刘徽注：用来求正方形的边长。）法则：用面积作为被法。借一个算筹，令它向左移动，每步移动两位。（刘徽注：意思是，面积是百位数，边长就是十位数；面积是万位数，边长就是百位数。）讨论所得的数值，用这个数的一次方乘借筹作为法，作除法。（刘徽注：先得出黄甲的边长，用得出的数乘借筹，等于边长自乘再与法相减。）作完除法，使法加倍，作为定法。（刘徽注：使法加倍，是要确定二朱幂的长度，准备再次作除法，所以称为定法。）作第二次除法，使法折损退一位。（刘徽注：想要减去朱幂面积，原本应该列出正方形边长，加倍作为定法，折损得到数值，再乘除。这样计算，应该重设借算，并尽可能向左移动才能计算，所以使借算自上而下退位。）重新像开始那样置借算，向左移动，令所得的数值的一次方乘借筹，（刘徽注：想要减去朱幂两个角的黄乙的面积，意义和上面相同。）第二位的数值加入定法，作除法。所得数值加入定法。（刘徽注：将黄乙的边长加入定法，是为了伸展二青幂是长边。）如果再次作除法，像前面那样退一位。如果开方不尽，称为不可开。以这个数为面积的正方形边长来命名。（刘徽注：也有以借算加定法命名分数的，虽然相近，但并不可取。凡是积分开方，得数自乘还应该恢复积分。如果不加借算命名分数，数值稍微小；加上借算，稍微大，都不能准确确定值。所以用边长表示，不会有失误。比如10除以3，余数 ，可以恢复原本的数。如果不以边长命名，可以像前面一样加定法，求微数。微数中没有名数的，作为分子，退一位分母是10，退二位分母使100。退的位数越多，数值分得越小，这时朱幂中有微小的数被舍弃，也可以忽略。）如果实中有分数，就通分加入分子作为定实，然后开方。开方后再对分母开方，作报除。（李淳风注：如果分母可以开方，可当作两个分母相乘之积。开方后，还存有一个分母。所以对分母开方，取一个分母作为法，作报除。）如果分母不可开，就用分母乘定实，再开方。开方后，除以分母。（李淳风注：如果分母不可开，本来只有一个分母。再乘以分母，就存在两个分母。开方后，还存有一个分母。所以除以一个分母，得到边长。）
又按：此术“开方”者，求方幂之面也。“借一算”者，假借一算，空有列位之名，而无除积之实。方隅得面，是故借算列之于下。“步之，超一等”者，方十自乘，其积有百，方百自乘，其积有万，故超位至百而言十，至万而言百。“议所得，以一乘所借算为法，而以除”者，先得黄甲之面，以方为积者两相乘，故开方除之。还令两面上下相命，是自乘而除之。“除已，倍法为定法”者，实积未尽，当复更除，故豫张两面朱幂袤，以待复除，故曰定法。“其复除，折法而下”者，欲除朱幂，本当副置所得成方，倍之为定法，以折、议、乘之，而以除。如是当复步之而止，乃得相命，故使就上折之而下。“复置借算，步之如初，以复议一乘之，所得副以加定法，以定法除”者，欲除朱幂之角黄乙之幂。“以所得副从定法”者，再以黄乙之面加定法，是则张两青幂之袤，故如前开之，即合所问。
译文
李淳风注：这就是开方法则，用来求正方形的边长。“借一个算筹”，是假借，只有列位的作用，实际并没有参与除积。从正方形的面积得出边长，所以把借算放在积下面。“每步移动两位”，正方形边长是十位数，自乘后面积是百位数，边长是百位数，自乘后面积是万位数。所以移动两位，面积是百位数，边长就是十位数，面积是万位数，边长就是百位数。“讨论所得的数值，用这个数的一次方乘借筹作为法，作除法”，先求得黄甲的边长，正方形面积是边长自乘，所以开方求边长。还令两边长相乘，自乘后减实。“作完除法，使法加倍，作为定法”，因为作为实的面积没有除尽，应当再除。所以展开朱幂，准备第二次除法，所以称定法。“作第二次除法，使法折损退一位”，想要减去朱幂，本应当列出已知道的正方形边长，加倍作为定法，折损得到数值，再乘除。如果这样应该重新置借算，尽可能向左移动，再相乘，所以借算变小而退位。“重新像开始那样置借算，向左移动，令所得数值的一次方乘借筹。第二位的数值加入定法，作除法”，为了想要减去两朱幂形成的角上黄乙的面积。“第二位的数值加入定法”，为了把黄乙的边长加上定法，也是为了伸展青幂的边长，所以按照之前的做法，就可以解答问题。
今有积一千五百一十八步四分步之三。问：为圆周几何？
答曰：一百三十五步。于徽术，当周一百三十八步一十分步之一。臣淳风等谨按：此依密率，为周一百三十八步五十分步之九。
又有积三百步。问：为圆周几何？
答曰：六十步。于徽术，当周六十一步五十分步之十九。臣淳风等谨依密率，为周六十一步一百分步之四十一。
开圆术曰：置积步数，以十二乘之，以开方除之，即得周。此术以周三径一为率，与旧圆田术相返覆也。于徽术，以三百一十四乘积，如二十五而一，所得，开方除之，即周也。（开方除之，即径。）是为据见幂以求周，犹失之于微少。其以二百乘积，一百五十七而一，开方除之，即径，犹失之于微多。臣淳风等谨按：此注于徽术求周之法，其中不用“开方除之，即径”六字，今本有者，衍剩也。依密率，八十八乘之，七而一。按周三径一之率，假令周六径二，半周半径相乘得幂三，周六自乘得三十六。俱以等数除，幂得一，周之数十二也。其积：本周自乘，合以一乘之，十二而一，得积三也。术为一乘不长，故以十二而一，得此积。今还原，置此积三，以十二乘之者，复其本周自乘之数。凡物自乘，开方除之，复其本数。故开方除之，即周。
译文
现有面积 步2 。问：如果是圆，它的周长是多少？
答：135步。（刘徽注：用徽率，周长应为 步。李淳风注：依照密率，周长应为 步。）
又有面积300步2 。问：如果是圆，它的周长是多少？
答：60步。（刘徽注：用徽率，周长应为 步。李淳风注：依照密率，周长应为 步。）
开圆法则：列出已知面积的积步数，乘以12，得数开方，为圆周长。（刘徽注：本法则用周3径1率，与旧圆田法则互为逆运算。用徽率，面积乘以314，除以25，得数开方，即为圆周长。开方作除法，得到直径。所以根据面积求周长，有微小的损失。如果面积乘以200，除以157，开方除法，得到直径，又微多了一点。李淳风注：刘徽求周长的这个注，其中没有“开方作除法，得到直径”这几字。现在版本上的这几字是衍剩。依照密率，面积乘以88，除以7。周3径1率，假设周6径2，半周和半径相乘得面积3。周6自乘，得36，都除以等数，面积得1，周长的数12。周6自乘，乘以1，除以12，得面积3。本法则中，乘以1不使得数增加，所以除以12，得到面积。现在还原，列出面积3，乘以12，得周长自乘数。凡是数自乘，作开方除法，又回到原本的数值，所以开方除法，即为周长。）
今有积一百八十六万八百六十七尺。此尺谓立方尺也。凡物有高、深而言积者，曰立方。 问：为立方几何？
答曰：一百二十三尺。
又有积一千九百五十三尺八分尺之一。问：为立方几何？
答曰：一十二尺半。
又有积六万三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七。问：为立方几何？
答曰：三十九尺八分尺之七。
又有积一百九十三万七千五百四十一尺二十七分尺之一十七。问：为立方几何？
答曰：一百二十四尺太半尺。
开立方立方适等，求其一面也。 术曰：置积为实。借一算，步之，超二等。言千之面十，言百万之面百。 议所得，以再乘所借一算为法，而除之。再乘者，亦求为方幂。以上议命而除之，则立方等也。 除已，三之为定法。为当复除，故豫张三面，以定方幂为定法也。 复除，折而下。复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议，定其厚薄尔。开平幂者，方百之面十；开立幂者，方千之面十。据定法已有成方之幂，故复除当以千为百，折下一等也。 以三乘所得数，置中行。设三廉之定长。 复借一算，置下行。欲以为隅方。立方等未有定数，且置一算定其位。 步之，中超一，下超二等。上方法，长自乘，而一折；中廉法，但有长，故降一等；下隅法，无面长，故又降一等也。 复置议，以一乘中，为三廉备幂也。 再乘下，令隅自乘，为方幂也。 皆副以加定法。以定除。三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除去三幂之厚也。 除已，倍下，并中，从定法。凡再以中、三以下，加定法者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅连于三廉之端，以待复除也。言不尽意，解此要当以棋，乃得明耳。 复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。术亦有以定法命分者，不如故幂开方，以微数为分也。 若积有分者，通分纳子为定实。定实乃开之。讫，开其母以报除。臣淳风等谨按：分母可开者，并通之积先合三母。既开之后一母尚存，故开分母，求一母，为法，以报除也。 若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一。臣淳风等谨按：分母不可开者，本一母也。又以母再乘之，令合三母。既开之后，一母犹存，故令一母而一，得全面也。
译文
现有体积1860867尺3 。（刘徽注：这里的尺是立方尺。凡是事物有高、深，它的体积量数就是立方。）问：如果是正方体，边长是多少？
答：123尺。
又有体积 尺3 。问：如果是正方体，边长是多少？
答： 尺。
又有体积 尺3 。问：如果是正方体，边长是多少？
答： 尺。
又有体积 尺3 。问：如果是正方体，边长是多少？
答： 尺。
开立方（刘徽注：正方体边长正好相等，求其中一边长。）法则：已给体积作为实。借1个算筹，向左移动，每步移动三位。（刘徽注：体积是千位数，边长为十位数；体积为百万位数，边长为百位数。）讨论所得数值，它的二次方乘借算，作为法。实除以法。（刘徽注：二次方为正方形面积。上面的数值乘面积为实，因为正方体边长相等。）作完除法，法乘以3作为定法。（刘徽注：为了再次作除法，展开正方体的三面，以正方形除法。）再次作除法，法缩小退位。（刘徽注：再次作除法，正方体的面积和体积是自乘数，所以需要经过折损、讨论确定它们的厚度。开平方，面积是百位数，边长十位数；开立方，体积是千位数，边长十位数。根据定法得知正方形面积，作除法使1000化为100，退一位。）所得数值乘以3，放中行。（刘徽注：设三廉的定长。）再借算，放在下行。（刘徽注：想要表示角上的正方体体积。大小不定，借算为了确定位置。）向左移动，中行一步移二位，下行一步移三位。（刘徽注：上行，边长自乘，退一位；中行，只有长，退一位；下行，没有面和长，退一位。）第二个讨论所得数值，用一次方乘中行，（刘徽注：为三廉的总体积。）用数值的二次方乘下行，（刘徽注：使角上边长自乘，是正方形面积。）加定法。定实除以定法。（刘徽注：三面、三廉、一角都已有面积，上面讨论的数值乘这些面积，减余实，是减去三个面积的厚。）除法后，下行加倍，加上中行，加入定法。（刘徽注：凡是以2倍中行、3倍下行加定法，三个廉都应当作为两个侧面面积连接在两个方的侧面，一个角连接三个廉的顶端。准备再次作除法。语言不能表达出全部意思，应该用棋，才能解释清楚。）再次作除法，像前面那样折损、退位。如果开方开不尽，也称为不可开。（刘徽注：有用定法命名分数，不如用体积开方，用微数作为分数。）如果已知体积包含分数，先通分，加入分子作为定实，开立方，然后对分母开立方，再作除法。（李淳风注：分母可以开立方，通分后的积等于三个分母相乘，开立方后还存有一个分母。所以对分母开立方，一个分母作为法，作除法。）如果分母不可开，用分母二次方乘定实，再开立方。然后用分母除。（李淳风注：分母不可开，本来存在一个分母。再用分母的二次方乘，就存在三个分母。开立方后，还存在一个分母，所以除以分母，得到整个边长。）
按：开立方知，立方适等，求其一面之数。“借一算，步之，超二等”者，但立方求积，方再自乘，就积开之，故超二等，言千之面十，言百万之面百。“议所得，以再乘所借算为法，而以除”知，求为方幂，以议命之而除，则立方等也。“除已，三之为定法”，为积未尽，当复更除，故豫张三面已定方幂为定法。“复除，折而下”知，三面方幂皆已有自乘之数，须得折、议定其厚薄。据开平方，百之面十，其开立方，即千之面十，而定法已有成方之幂，故复除之者，当以千为百，折下一等。“以三乘所得数，置中行”者，设三廉之定长。“复借一算，置下行”者，欲以为隅方，立方等未有数，且置一算定其位也。“步之，中超一，下超二”者，上方法长自乘而一折，中廉法但有长，故降一等，下隅法无面长，故又降一等。“复置议，以一乘中”者，为三廉备幂。“再乘下”，当令隅自乘为方幂。“皆副以加定法，以定法除”者，三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除去三幂之厚。“除已，倍下、并中，从定法”者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅连于三廉之端，以待复除。其开之不尽者，折下如前，开方，即合所问。“有分者，通分纳子”开之，“讫，开其母以报除”，可开者，并通之积，先合三母，既开之后，一母尚存。故开分母者，求一母为法，以报除。“若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一”，分母不可开者，本一母，又以母再乘，令合三母，既开之后，亦一母尚存。故令如母而一，得全面也。
译文
李淳风注：“开立方”是一个正方体边长都相等，求边长。“借1个算筹，向左移动，每步移动三位”是因为，正方体的体积是边长自乘两次。这个积开立方，所以要移三位，所以体积是千位数，边长是十位数，体积是百万位数，边长是百位数。“讨论所得数值，它的二次方乘借算，作为法，实除以法”是因为，求出正方形的面积，用上面求得的数值乘，减实，得到正方体体积。“作完除法，法乘以3作为定法”，作为体积还没有除尽，需要再次作除法，所以展开三个面，将正方形面积作为定法。“再次作除法，法缩小退位”是因为，三个面的面积都是平方数，必须折损、讨论它们的厚度。根据开平方，面积是百位数，边长是十位数，如果开立方，体积是千位数，边长是十位数。定法已经是平方数，所以再次作除法，应该将千位改为百位，即退一位。“所得数值乘以3，放中行”是确定三廉的长度。“再借算，放在下行”是想要表示还未确定的、角上的正方体的体积，借算只是起定位作用。“向左移动，中行一步移二位，下行一步移三位”是因为，上行的正方形的法是边长自乘，所以退一位；中行廉的法只有边长，所以再退一位；下行的正方体没有边长，所以再退一位。“第二个讨论所得数值，用一次方乘中行”是三廉的总体积。“用数值的二次方乘下行”，是使角上正方体的边长自乘，即正方体的体积。“使他们加定法，定实除以定法”是因为，三个侧面、三个廉、一个角都是平方数，上面讨论的数值乘平方数，减剩余的实，就是去掉了它们的厚度。“除法后，下行加倍、加上中行，加入定法”是因为，三个廉作为两个侧面面积连接在两个方的侧面，一个角连接三个廉的顶端，准备再次作除法。如果开方开不尽，像前面步骤那样折损、退位，开方，就可以解答问题。“如果已知体积包含分数，先通分，加入分子”，再开方，“然后对分母开立方，再作除法”，分母可以开立方，通分后的积等于三个分母相乘，开立方后还存有一个分母。所以对分母开立方，一个分母作为法，作除法。“如果分母不可开，用分母二次方乘定实，再开立方。然后用分母除”，分母不可开，本来存在一个分母，用分母的二次方乘，就存在三个分母，开立方后，还存在一个分母。所以除以分母，得到边长。
今有积四千五百尺。亦谓立方之尺也。 问：为立圆径几何[1] ？
答曰：二十尺。依密率，立圆径二十尺，计积四千一百九十尺二十一分尺之一十。
又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问：为立圆径几何？
答曰：一万四千三百尺。依密率，为径一万四千六百四十三尺四分尺之三。
开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得，开立方除之，即立圆径。立圆，即丸也。为术者，盖依周三径一之率。令圆幂居方幂四分之三。圆囷居立方亦四分之三[2] 。更令圆囷为方率十二，为丸率九，丸居圆囷又四分之三也。置四分自乘得十六，三分自乘得九，故丸居立方十六分之九也。故以十六乘积，九而一，得立方之积。丸径与立方等，故开立方而除，得径也。然此意非也。何以验之？取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷，径二寸，高二寸。又复横因之，则其形有似牟合方盖矣[3] 。八棋皆似阳马，圆然也。按：合盖者，方率也，丸居其中，即圆率也。推此言之，谓夫圆囷为方率，岂不阙哉[4] ？以周三径一为圆率，则圆幂伤少，令圆囷为方率，则丸积伤多，互相通补，是以九与十六之率偶与实相近，而丸犹伤多耳。观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者。
注释
[1] 立圆：球。
[2] 圆囷qūn：圆柱体。囷，古代一种圆形谷仓。
[3] “规之为圆囷”五句：如图4－2。
图4－2
[4] 阙：过错。
译文
现有体积4500尺3 。（刘徽注：就是立方尺。）问：如果是球，直径是多少？
答：20尺。（刘徽注：运用密率，立圆直径20尺。计算得体积 尺3 。）
又有体积1644866437500尺3 。问：如果是球，直径是多少？
答：14300尺。（刘徽注：运用密率，立圆直径 尺。）
开立圆法则：将球体积的尺数，乘以16，除以9，所得数值开立方，即为球的直径。（刘徽注：立圆，就是球。本法则皆依照周3径1率。令圆面积为其外切正方形面积的 。圆柱体体积也为正方体体积的 。令圆柱体的方率12，圆率9，所以球的体积为圆柱体的 。4自乘得16，3自乘得9，所以球的体积是正方体体积的 。所以用球的体积乘以16，除以9，得到正方体的体积。球的直径与正方体边长相等，所以开立方，得到球的直径。然而这种解法是错误的。如何验证呢？取正方体棋8枚，每枚棋的边长都是1寸。堆积起来成为边长2寸的正方体。沿水平方向做内切圆柱体，直径2寸，高2寸。再横着沿垂直方向做内切圆柱体，两个圆柱体重合的部分就像牟合方盖。8个棋子都像阳马，不过棱都是圆的。合盖的率就是方率，球为内切球，是圆率。由此推论，圆柱体就是方率。这不是错误的吗？以周3径1作为圆率，圆面积稍微少了一点。如果以圆柱体为方率，球的体积就多了一点。互相补偿，以9比16为率与真值偶然相近，球的体积稍多了一点。观察正方体内部，合盖外部的部分，虽然渐渐地衰减下来，但具体是多少不清楚。总的来看，该正方体方圆混合，截面不规则，不是一个规整的形状。如果歪曲了形状错误理解，恐怕违背正确的道理。我还是把疑问留给能解惑的人来解答吧。）
黄金方寸，重十六两；金丸径寸，重九两，率生于此，未曾验也。《周官·考工记》：“栗氏为量，改煎金锡则不耗。不耗然后权之，权之然后准之，准之然后量之。”言炼金使极精，而后分之则可以为率也。令丸径自乘，三而一，开方除之，即丸中之立方也。假令丸中立方五尺，五尺为勾，勾自乘幂二十五尺。倍之得五十尺，以为弦幂，谓平面方五尺之弦也。以此弦为股，亦以五尺为勾，并勾股幂得七十五尺，是为大弦幂。开方除之，则大弦可知也。大弦则中立方之长斜，斜即丸径也。故中立方自乘之幂于丸径自乘之幂三分之一也。令大弦还乘其幂，即丸外立方之积也。大弦幂开之不尽，令其幂七十五再自乘之，为面，命得外立方积，四十二万一千八百七十五尺之面。又令中立方五尺自乘，又以方乘之，得积一百二十五尺。一百二十五尺自乘，为面，命得积，一万五千六百二十五尺之面。皆以六百二十五约之，外立方积，六百七十五尺之面，中立方积，二十五尺之面也。张衡算又谓立方为质，立圆为浑。衡言质之与中外之浑：六百七十五尺之面，开方除之，不足一，谓外浑积二十六也。内浑二十五之面，谓积五尺也。今徽令质言中浑，浑又言质，则二质相与之率犹衡二浑相与之率也。衡盖亦先二质之率推以言浑之率也。衡又言质，六十四之面，浑二十五之面。质复言浑，谓居质八分之五也。又云：方八之面，圆五之面。圆浑相推，知其复以圆囷为方率，浑为圆率也，失之远矣。衡说之自然，欲协其阴阳奇耦之说而不顾疏密矣。虽有文辞，斯乱道破义，病也。置外质积二十六，以九乘之，十六而一，得积十四尺八分尺之五，即质中之浑也。以分母乘全纳子，得一百一十七。又置内质积五，以分母乘之，得四十，是为质居浑一百一十七分之四十，而浑率犹为伤多也。假令方二尺，方四面，并得八尺也，谓之方周。其中令圆径与方等，亦二尺也。圆半径以乘圆周之半，即圆幂也。半方以乘方周之半，即方幂也。然则方周知，方幂之率也；圆周知，圆幂之率也。按：如衡术，方周率八之面，圆周率五之面也。令方周六十四尺之面，圆周四十尺之面也。又令径二尺自乘，得径四尺之面，是为圆周率十之面，而径率一之面也。衡亦以周三径一之率为非，是故更著此法，然增周太多，过其实矣。
译文
1方寸的黄金，重16两；直径1寸的金球，重9两。法则中的率由此而来，但是未被检验过。《周礼·考工记》中说：“栗氏制作量器时，炼金锡并且没有损耗。没有损耗就可以称量，然后将它作为标准，进而度量其他物品。”这里面说，炼金并使它的精度极高，然后分割它们为正方体和球体，就可以确定率是多少。使球的直径自乘，除以3，再开方，即为球内接正方体的边长。假设球内接正方体的边长为5尺，5尺作为勾，勾自乘得到25尺2 。翻倍得到50尺2 ，作为弦的平方，就是平面上5尺对应的对角线。以这个弦作为股，还是以5尺作为勾，勾、股的平方相加是75尺2 ，是大弦的平方。对它开方，就可以知道大弦的数值。大弦是正方体的对角线，即球的直径。所以，正方体边长自乘之幂是球直径自乘之幂的 。令大弦的平方乘以大弦，就是球的外切正方体的体积。大弦的平方开方开不尽，使它的幂即面积75尺2 自乘，得到外切正方体的体积，即421875尺6 之面。再使正方体边长5尺自乘，再乘以5尺，得到125尺3 。令它自乘，得到其平方数，即15625尺6 之面。都用625约简，外切正方体体积的二次幂是675尺6 之面，内接正方体体积的二次幂为25尺6 之面。张衡计算时将正方体称为质，球称为浑。张衡讨论了质与内切浑、外接浑的关系：外接浑的体积为675尺6 之面，将其开方，不足1，外接浑的体积是26尺3 。内切浑的体积的二次幂为25尺6 之面，它的体积是5尺3 。现在我讨论质的内切浑，浑的内接质，那么两质的最简之比相当于两浑的最简之比。张衡应该是先推算出两质的最简之比，再推算出两浑的最简之比。张衡又举例说质的体积率为64之面，浑的体积率为25之面。内切浑的体积是质的体积的 。另外，正方形的率是面积为8之面，圆的面积率为5之面。圆与浑互相推算，又得知他以圆柱作为方率，浑作为圆率，与真值相差太远。张衡想要协调阴阳奇偶的学说而没有顾及数据的疏密。虽然引用论据，但与真理相违背，是错误的。假设质的体积为26尺3 ，乘以9，除以16，得 尺3 ，为质的内切浑的体积。分母乘整数部分加入分子，得117。又假设内接质的体积为5尺3 ，乘以分母，得40，所以内接质的体积是浑的体积的 ，则浑的率稍微多了些。假设正方形边长2尺，有4条边，相加得8尺，称为正方形的周长。其中假设圆的直径与正方形边长相等，也是2尺。圆半径乘圆周的一半，即为圆面积。正方形半个边长乘周长的一半，即为正方形面积。所以，从正方形周长可以推算出正方形面积的率；从圆的周长可以推算出圆的面积的率。按照张衡的计算方法，方形的比率为8，圆周长的率为5之面。令正方形周长为64之面，圆周长为40尺之面。令直径2尺自乘，得到直径4尺之面，圆周率为10之面，圆直径率的乘积为1的正方形。张衡也认为周3径1率不对，所以著了这种算法。但是周长增加太多，超过了真值。
臣淳风等谨按：祖暅之谓刘徽[1] 、张衡二人皆以圆囷为方率，丸为圆率，乃设新法。祖暅之开立圆术曰：“以二乘积，开立方除之，即立圆径。其意何也？取立方棋一枚，令立枢于左后之下隅，从规去其右上之廉；又合而横规之，去其前上之廉。于是立方之棋分而为四。规内棋一，谓之内棋。规外棋三，谓之外棋。规更合四棋，复横断之。以勾股言之，令余高为勾，内棋断上方为股，本方之数，其弦也。勾股之法：以勾幂减弦幂，则余为股幂。若令余高自乘，减本方之幂，余即内棋断上方之幂也。本方之幂即此四棋之断上幂。然则余高自乘，即外三棋之断上幂矣。不问高卑，势皆然也。然固有所归同而途殊者尔，而乃控远以演类，借况以析微。按：阳马方高数参等者，倒而立之，横截去上，则高自乘与断上幂数亦等焉。夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。由此观之，规之外三棋旁蹙为一，即一阳马也。三分立方，则阳马居一，内棋居二可知矣。合八小方成一大方，合八内棋成一合盖。内棋居小方三分之二，则合盖居立方亦三分之二，较然验矣。置三分之二，以圆幂率三乘之，如方幂率四而一，约而定之，以为丸率。故曰丸居立方二分之一也。”等数既密，心亦昭晰[2] 。张衡放旧，贻哂于后[3] ；刘徽循故，未暇校新。夫岂难哉？抑未之思也。依密率，此立圆积，本以圆径再自乘，十一乘之，二十一而一，得此积。今欲求其本积，故以二十一乘之，十一而一。凡物再自乘，开立方除之，复其本数。故立方除之，即丸径也。
注释
[1] 祖暅gèng之：祖暅，我国南北朝时期南朝数学家、祖冲之之子。“祖暅原理”是关于球体体积的计算方法，这是祖暅一生最有代表性的发现。
[2] 晰：明白，清楚。
[3] 哂：讥笑。
译文
李淳风注：祖暅说刘徽、张衡二人都以圆柱体为方率，球为圆率，于是他创立新的方法。祖暅的开立圆法则：“以2乘体积，再开立方，即为球的直径。这是什么原理呢？取正方形棋一枚，以左下棱为轴，棱长为半径作圆柱面，截去它的右上廉，再合在一起，横向沿圆柱面截去它的上廉。就这样正方棋被截成了4个棋。内侧1个棋，称为内棋；外侧3个棋，称为外棋。再把这4个棋合起来，沿横向截断。按照勾股定理，令截面的高为勾，内棋截面正方形边长为股，正方体的棱长作为弦。勾股定理：弦的面积减去勾的面积，那么余数为股的面积。如果令余高自乘，减去正方形的面积，余数是内棋的横截面面积。正方形的面积是这4个棋的横截面之和。剩余的高自乘，就是3个外棋的横截面面积。无论横截面位置的高低，规律都是如此。所以说是殊途同归，我们可以利用近似的道理演算同类问题，借用情况作细微分析。例如：一个长、宽、高都相等的阳马，将其倒立，截去上半部，所以它的高自乘，即为3个外棋横截面积之和。堆积这3个棋为立方体，由于横截面面积相同，所以体积也不能不同。由此可见，3个外棋可以凝聚成1，就是1个阳马。将立方体分成3等份，阳马占1份，就可以知道内棋占2份。将8个小正方体合成1个大正方体，8个内棋合成1个合盖。内棋占小正方体的 ，合盖也占大正方体的 ，很容易被验证。设 乘以圆面积率3，除以方面积率4，约简，就可以确定球率。所以说球占外切正方形的 。”计算所得数值已经很精密，思路也清晰了。张衡墨守旧的方法，被后人讥笑；刘徽遵循过去的思路，没有创新。这是因为太难吗？或者是没有经过深思熟虑。依照密率，求球的体积应该是直径自乘两次，乘以11，除以21，得到答案。现在想要求它的体积，所以乘以21，除以11。凡是数两次自乘，再开立方，就可以恢复到原本的数值。因此开立方，即得球的直径。
