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移除书签卷第六 均输
均输以御远近劳费
今有均输粟：甲县一万户，行道八日；乙县九千五百户，行道十日；丙县一万二千三百五十户，行道十三日；丁县一万二千二百户，行道二十日，各到输所。凡四县赋当输二十五万斛，用车一万乘。欲以道里远近、户数多少衰出之，问：粟、车各几何？
答曰：甲县粟八万三千一百斛，车三千三百二十四乘。乙县粟六万三千一百七十五斛，车二千五百二十七乘。丙县粟六万三千一百七十五斛，车二千五百二十七乘。丁县粟四万五百五十斛，车一千六百二十二乘。
术曰：令县户数各如其本行道日数而一，以为衰。按：此均输，犹均运也。令户率出车，以行道日数为均，发粟为输。据甲行道八日，因使八户共出一车；乙行道十日，因使十户共出一车；……计其在道，则皆户一日出一车，故可为均平之率也。臣淳风等谨按：县户有多少之差，行道有远近之异。欲其均等，故各令行道日数约户为衰。行道多者少其户，行道少者多其户。故各令约户为衰。以八日约除甲县，得一百二十五，乙、丙各九十五，丁六十一。于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，以赋粟车数为所有数，而今有之，各得车数。一旬除乙，十三除丙，各得九十五；二旬除丁，得六十一也。 甲衰一百二十五，乙、丙衰各九十五，丁衰六十一，副并为法。以赋粟车数乘未并者，各自为实。衰分，科率。 实如法得一车。各置所当出车，以其行道日数乘之，如户数而一，得率：户用车二日四十七分日之三十一，故谓之均。求此户以率，当各计车之衰分也。 有分者，上下辈之。辈，配也。车、牛、人之数不可分裂，推少就多，均赋之宜。今按：甲分既少，宜从于乙。满法除之，有余从丙。丁分又少，亦宜就丙。除之适尽。加乙、丙各一，上下辈益，以少从多也。 以二十五斛乘车数，即粟数。
译文
均输（刘徽注：用来处理距离远近的劳费问题。）
现有平均分担运输粟米的任务：甲县10000户，有8日行程；乙县9500户，有10日行程；丙县12350户，有13日行程；丁县12200户，有20日行程；它们分别到达输所。4个县应当共运输粟米250000斛，用车10000乘。想要按照距离远近、户数多少分配。问：粟米、车各应该多少？
答：甲县运输粟米83100斛，出车3324乘。乙县运输粟米63175斛，出车2527乘。丙县运输粟米63175斛，出车2527乘。丁县运输粟米40550斛，出车1622乘。
法则：使各县户数除以行程日数，作为分配率。（刘徽注：这里的均输，就是平均分配运输。按照户率出车，以行程日数为均等，发粟作为输。根据甲县行程8日，使8户出1车；乙县行程10日，使10户出1车；……计算在路上的日数，则1户1日出1车，所以这是平均分配的率。李淳风注：各县户数不同，行程有远近区别。想要平均分配，令各自的行程日数除户数作为分配率。行程多的减少户数，行程少的增加户数。所以令各自的行程日数除户数作为分配率。甲县户数除以8日，得125，乙、丙各95，丁61。用今有法则，将它们相加作为所有率，未相加的率各自作为所求率，以输送粟的总车数作为所有数，运用今有法则，得各自的车数。乙县户数除以10，丙县户数除以13，各得95；丁除以20，得61。）甲分配率125，乙、丙分配率各95，丁分配率61，相加之和作为除数。分别用运输粟的车数乘各自的率，作为被除数。（刘徽注：衰分，即分配缴纳的赋税的率。）被除数除以除数，得各县出的车数。（刘徽注：分别列出应当出的车数，乘以它们的行程日数，除以户数，得率：每户
日出1车，所以使平均分配。求每户的率，应当各自用车的衰分计算。）如果有分数，就上下凑整。（刘徽注：辈，就是凑整。车、牛、人的数不可成分数，就将小的数加到大的数上，这是平均赋税的权宜之计。本题中既然甲县的分数少，最好加到乙县的数上。作除法，余数加到丙县的数上。丁县的分数少，加到丙县的数上。正好可以除尽。加到乙、丙县各有1，上下凑整，以少的加到多的上。）分别用25斛乘各自出车数，即为各县出的粟数。
今有均输卒：甲县一千二百人，薄塞；乙县一千五百五十人，行道一日；丙县一千二百八十人，行道二日；丁县九百九十人，行道三日；戊县一千七百五十人，行道五日。凡五县，赋输卒一月一千二百人。欲以远近、人数多少衰出之。问：县各几何？
答曰：甲县二百二十九人。乙县二百八十六人。丙县二百二十八人。丁县一百七十一人。戊县二百八十六人。
术曰：令县卒各如其居所及行道日数而一，以为衰。按：此亦以日数为均，发卒为输。甲无行道日，但以居所三十日为率。言欲为均平之率者，当使甲三十人而出一人，乙三十一人而出一人。“出一人”者，计役则皆一人一日，是以可为均平之率。 甲衰四，乙衰五，丙衰四，丁衰三，戊衰五，副并为法。以人数乘未并者各自为实。实如法而一。为衰，于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，以赋卒人数为所有数。此术以别，考则意同。以广异闻，故存之也。各置所当出人数，以其居所及行道日数乘之，如县人数而一。得率：人役五日七分日之五。 有分者，上下辈之。辈，配也。今按：丁分最少，宜就戊除。不从乙者，丁近戊故也。满法除之，有余从乙。丙分又少，亦就乙除。有余从甲。除之适尽。从甲、丙二分，其数正等，二者于乙远近皆同，不以甲从乙者，方以下从上也。
译文
现平均分配征兵卒：甲县1200人，贴近边塞；乙县1550人，距离有1日行程；丙县1280人，距离有2日行程；丁县990人，距离有3日行程；戊县1750人，距离有5日行程。5县1个月共征兵卒1200人。想要以远近、人数平均分配。问：5县各出多少人？
答：甲县229人。乙县286人。丙县228人。丁县171人。戊县286人。
解法：使各县人数除以各县行程，作为分配率。（刘徽注：本题以行程日数为均等，征兵卒数作为输。甲县没有行程，所以以居住在这里30日作为率。想要平均分配，应使甲县30人出1人，乙县31人出1人。“出1人”的原因是，计算按1人服兵役1日，作为平均之率。）甲县分配率4，乙县分配率5，丙县分配率4，丁县分配率3，戊县分配率5，相加作为除数。用总征兵人数分别乘未相加的分配率作为被除数。被除数除以除数。（刘徽注：计算出分配率，用今有法则，相加作为所有率，未相加的分别作为所求率，用服兵役的总人数作为所有数。本题与法则稍有区别，仔细考察意义还是相同的。为了开阔见闻，所有保存下来。列出各县应当出的人数，乘以居住在甲县和行程日数之和，除以各县人数。得率：每人服兵役 日。）如果有分数，就上下凑整。（刘徽注：辈，就是凑整。这里丁县的分数最小，应当并入戊县。不并入乙县的原因，是丁县距离戊近。满法就作除法，余数加入乙县。丙县的分数较小，也加入乙县作除法。余数加入甲县。正好除尽。甲、丙两县的分数正好相等，距离乙县又正好相同，不将甲县分数加入乙县的原因，是应当将下位数并入上位数。）
今有均赋粟：甲县二万五百二十户，粟一斛二十钱，自输其县；乙县一万二千三百一十二户，粟一斛一十钱，至输所二百里；丙县七千一百八十二户，粟一斛一十二钱，至输所一百五十里；丁县一万三千三百三十八户，粟一斛一十七钱，至输所二百五十里；戊县五千一百三十户，粟一斛一十三钱，至输所一百五十里。凡五县赋输粟一万斛。一车载二十五斛，与僦一里一钱[1] 。欲以县户赋粟，令费劳等，问：县各粟几何？
答曰：甲县三千五百七十一斛二千八百七十三分斛之五百一十七。乙县二千三百八十斛二千八百七十三分斛之二千二百六十。丙县一千三百八十八斛二千八百七十三分斛之二千二百七十六。丁县一千七百一十九斛二千八百七十三分斛之一千三百一十三。戊县九百三十九斛二千八百七十三分斛之二千二百五十三。
术曰：以一里僦价乘至输所里，此以出钱为均也。问者曰：“一车载二十五斛，与僦一里一钱。”一钱，即一里僦价也。以乘里数者，欲知僦一车到输所所用钱也。甲自输其县，则无取僦价也。 以一车二十五斛除之，欲知僦一斛所用钱。 加以斛粟价，则致一斛之费。加以斛之价于一斛僦直，即凡输粟取僦钱也：甲一斛之费二十，乙、丙各十八，丁二十七，戊十九也。 各以约其户数，为衰。言使甲二十户共出一斛，乙、丙十八户共出一斛。……计其所费，则皆户一钱，故可为均赋之率也。计经赋之率，既有户算之率，亦有远近、贵贱之率。此二率者，各自相与通。通则甲二十，乙十二，丙七，丁十三，戊五。一斛之费谓之钱率。钱率约户率者，则钱为母，户为子。子不齐，令母互乘为齐，则衰也。若其不然。以一斛之费约户数，取衰。并有分，当通分纳子，约之，于算甚繁。此一章皆相与通功共率，略相依似。以上二率、下一率亦可放此，从其简易而已。又以分言之，使甲一户出二十分斛之一，乙一户出十八分斛之一，各以户数乘之，亦可得一县凡所当输，俱为衰也。乘之者，乘其子，母报除之。以此观之，则以一斛之费约户数者，其意不异矣。然则可置一斛之费而返衰之。约户，以乘户率为衰也。合分注曰：“母除为率，率乘子为齐。”返衰注曰：“先同其母，各以分母约，其子为返衰。”以施其率，为算既约，且不妨处下也。 甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三百九十九，丁衰四百九十四，戊衰二百七十，副并为法。所赋粟乘未并者，各自为实。实如法得一。各置所当出粟，以其一斛之费乘之，如户数而一，得率：户出三钱二千八百七十三分钱之一千三百八十一。按：此以出钱为均。问者曰：“一车载二十五斛，与僦一里一钱。”一钱即一里僦价也。以乘里数者，欲知僦一车到输所用钱。甲自输其县，则无取僦之价。“以一车二十五斛除之”者，欲知僦一斛所用钱。加一斛之价于一斛僦直，即凡输粟取僦钱：甲一斛之费二十，乙、丙各十八，丁二十七，戊一十九。“各以约其户，为衰”：甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三百九十九，丁衰四百九十四，戊衰二百七十。言使甲二十户共出一斛，乙、丙十八户共出一斛。计其所费，则皆户一钱，故可为均赋之率也。于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，赋粟一万斛为所有数。此今有、衰分之义也。
注释
[1] 僦jiù：租赁。
译文
现平均缴纳税粟：甲县20520户，1斛粟20钱，自己运输到本县；乙县13312户，1斛粟10钱，运输到税所200里；丙县7182户，1斛粟12钱，运输到税所150里；丁县13338户，1斛粟17钱，运输到税所250里；戊县5130户，1斛粟13钱，运输到税所150里。五县共需缴纳税粟10000斛粟。1车可以载粟25斛，租赁车的价格是1里1钱。想要根据各县户数平均分配税粟，使费劳都平均，问：各县交纳粟多少？
答：甲县 斛。乙县 斛。丙县 斛。丁县 斛。戊县 斛。
解法：用1里的租车价乘各县输送到税所的里数，（刘徽注：本题以每户出钱相等为均。已知：“1车载25斛，租赁价1里1钱。”1钱，是车1里的租赁价。用它乘里数，就是1车输送粮食到税所用的钱。甲县自己输送到税所，所以没有租赁车的费用。）除以1车载25斛，（刘徽注：想要知道车载25斛的租赁价。）加上1斛粟的价格，则为输送1斛粟的费用。（刘徽注：租赁车输送1斛粟的价钱加上1斛粟的价格，就是缴纳1斛粟的总价钱。甲县1斛粟20钱，乙、丙县各18钱，丁县27钱，戊县19钱。）用它们分别除各县户数，作为分配率。（刘徽注：就是甲县20户共出1斛，乙、丙县18户共出1斛。……计算它们所负担费用，都是每户1钱，所以可以作为分配税粟平均的率。计算分配率，既有户率［每户缴税的率］，也有钱率［行程远近、粟贵贱的率］。两个率要相通。户率为：甲县20，乙县12，丙县7，丁县13，戊县5。1斛粟的费用就是钱率。钱率除户率，则钱率作为分母，户率作为分子。如果分子不齐，就互乘分母使分子齐，作为分配率。如果不这样计算，用1斛的费用除户数，作为分配率。有分数，应当通分并入分子再约简，计算很烦琐。本章相通的率，略为相似。上面2题，下面1题都可以按照此题，简便计算。如果按分数表示，甲县每户出 斛，乙县每户出 斛。分别乘以户数，也可以得到各县缴纳的粟的率，全部作为分配率。乘就是乘分子，分母作报除。由此看来，用1斛的费用除户数，意义也没有区别。所以可以列出1斛的费用而利用返衰法则，除户数，乘户率作为分配率。分数加法法则注：“分母除分母之积作为率，率乘分子作为齐。”返衰法则注：“先使分母相同，分母分别除相同的分母，分子作为返衰法则的分配率。”主要计算分配率，计算简约，也不妨碍下面的计算。）甲县分配率1026，乙县分配率684，丙县分配率399，丁县分配率494，戊县分配率270，将它们相加作为除数。缴纳税粟总数乘各自的未相加的分配率作为被除数。被除数除以除数。（刘徽注：分别列出各县应缴纳的粟数，乘以1斛的费用。除以户数，得率：每户出 钱。本题以出钱数为均。已知“1车载25斛，租赁价1里1钱。”1钱是车行1里的租赁价。用它乘里数，就是1车输送粮食到税所用的钱。甲县自己输送到税所，所以没有租赁车的费用。“除以1车载25斛”的原因，是想知道车载25斛的租赁价。加上1斛粟的价格，则为输送1斛粟的费用：甲县1斛粟20钱，乙、丙县各18钱，丁县27钱，戊县19钱。“用它们分别除各县户数，作为分配率”：甲县分配率1026，乙县分配率684，丙县分配率399，丁县分配率494，戊县分配率270，就是甲县20户共出1斛，乙、丙县18户共出1斛，计算它们所负担费用，都是每户1钱，所以可以作为分配税粟平均的率。运用今有法则，分配率相加作为所有率，未相加的分配率分别作为所求率，税粟10000斛作为所有数。本题具有今有、衰分法则的意义。）
今有均赋粟：甲县四万二千算，粟一斛二十，自输其县；乙县三万四千二百七十二算，粟一斛一十八，佣价一日一十钱，到输所七十里；丙县一万九千三百二十八算，粟一斛一十六，佣价一日五钱，到输所一百四十里；丁县一万七千七百算，粟一斛一十四，佣价一日五钱，到输所一百七十五里；戊县二万三千四十算，粟一斛一十二，佣价一日五钱，到输所二百一十里；己县一万九千一百三十六算，粟一斛一十，佣价一日五钱，到输所二百八十里。凡六县赋粟六万斛，皆输甲县。六人共车，车载二十五斛，重车日行五十里，空车日行七十里，载输之间各一日。粟有贵贱，佣各别价，以算出钱，令费劳等，问：县各粟几何？
答曰：甲县一万八千九百四十七斛一百三十三分斛之四十九。乙县一万八百二十七斛一百三十三分斛之九。丙县七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。丁县六千七百六十六斛一百三十三分斛之一百二十二。戊县九千二十二斛一百三十三分斛之七十四。己县七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。
术曰：以车程行空、重相乘为法，并空、重，以乘道里，各自为实，实如法得一日。按：此术重往空还，一输再行道也。置空行一里，用七十分日之一；重行一里，用五十分日之一。齐而同之，空、重行一里之路，往返用一百七十五分日之六。完言之者，一百七十五里之路，往返用六日也。故并空、重者，齐其子也；空、重相乘者，同其母也。于今有术，至输所里为所有数，六为所求率，一百七十五为所有率，而今有之，即各得输所用日也。 加载输各一日，故得凡日也。 而以六人乘之，欲知致一车用人也。 又以佣价乘之，欲知致车人佣直几钱。 以二十五斛除之，欲知致一斛之佣直也。 加一斛粟价，则致一斛之费。加一斛之价于致一斛之佣直，即凡输一斛粟取佣所用钱。 各以约其算数为衰，今按：甲衰四十二，乙衰二十四，丙衰十六，丁衰十五，戊衰二十，己衰十六。于今有术，副并为所有率，未并者各自为所求率，所赋粟为所有数。此今有衰分之义也。 副并为法。以所赋粟乘未并者，各自为实。实如法得一斛。各置所当出粟，以其一斛之费乘之，如算数而一，得率：算出九钱一百三十三分钱之三。又载输之间各一日者，即二日也。
译文
现平均分配税粟：甲县42000算，粟1斛值20钱，自行输送到本县；乙县34272算，粟1斛值18钱，雇工1日10钱，到税所70里；丙县19328算，粟1斛值16钱，雇工1日5钱，到税所140里；丁县17700算，粟1斛值14钱，雇工1日5钱，到税所175里；戊县23040算，粟1斛值12钱，雇工1日5钱，到税所210里；己县19136算，粟1斛值10钱，雇工1日5钱，到税所280里。6县共缴纳税粟60000斛，全输送到甲县。6人共用1车，每车载25斛粟，满载的车日行50里，空车日行70里，装卸时间各1日。粟有贵贱的分别，雇工价格不同，按算出钱，使费劳均等。问：各县缴纳粟多少？
答：甲县 斛。乙县 斛。丙县 斛。丁县 斛。戊县 斛。己县 斛。
解法：用空车每日行程、满载车每日行程的里数相乘，作为除数，两者相加，分别乘到税所的里数，作为被除数，被除数除以除数，得到各县到税所的日数。（刘徽注：本题中车满载去，空车回，1次输送需在道上行2次。空车行1里用 日，满载车行1里用 日。将它们齐同，空车、满载车行1里，往返用 日。用整数表示，175里路，往返用6日。所以将空车、满载车每日行程相加，是使分子相齐；相乘，是使分母相同。运用今有法则，各县到税所的里数作为所有数，6作为所求率，175作为所有率，用今有法则计算，即求得各县到税所的日数。）加装卸时间各1日，（刘徽注：所以得到各县所用总日数。）乘以6人，（刘徽注：是想知道1车所用人数。又乘以雇工价，刘徽注：是想知道1车雇工的价格。）除以25斛，（刘徽注：是想知道输送1斛粟的雇工价格。）加1斛粟的价格，则得到输送1斛粟的总费用。（刘徽注：加1斛粟的价格到输送1斛粟的雇工价格上，得到缴纳1斛粟的总钱数。）分别除各县的算数作为分配率，（刘徽注：甲县分配率42，乙县分配率24，丙县分配率16，丁县分配率15，戊县分配率20，己县分配率16。运用今有法则，将它们相加作为所有率，未相加的分配率作为所求率，应缴纳的总税粟数作为所有数。本题具有今有、衰分法则的意义。）相加作为除数，用总税粟数乘未相加的分配率，各自作为被除数。被除数除以除数得到各县缴纳的粟的斛数。（刘徽注：分别列出各县缴纳的粟数，乘以1斛的费用，除以算数，得率：每算出 钱。又有装卸的时间各1日，即2日。）
今有粟七斗，三人分舂之，一人为粝米，一人为粺米，一人为糳米，令米数等。问：取粟、为米各几何？
答曰：粝米取粟二斗一百二十一分斗之一十。粺米取粟二斗一百二十一分斗之三十八。糳米取粟二斗一百二十一分斗之七十三。为米各一斗六百五分斗之一百五十一。
术曰：列置粝米三十，粺米二十七，糳米二十四，而返衰之。此先约三率：粝为十，粺为九，糳为八。欲令米等者，其取粟：粝率十分之一，粺率九分之一，糳率八分之一。当齐其子，故曰返衰也。臣淳风等谨按：米有精粗之异，粟有多少之差。据率，粺、糳少而粝多；用粟，则粺、糳多而粝少。米若依本率之分，粟当倍率故今返衰之[1] ，使精取多而粗得少。 副并为法。以七斗乘未并者，各自为取粟实。实如法得一斗。于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，粟七斗为所有数，而今有之，故各得取粟也。 若求米等者，以本率各乘定所取粟为实，以粟率五十为法，实如法得一斗。若径求为米等数者，置粝米三，用粟五；粺米二十七，用粟五十；糳米十二，用粟二十五。齐其粟，同其米，并齐为法。以七斗乘同为实。所得，即为米斗数。
注释
[1] 倍：背，违背。
译文
现有粟7斗，分3人舂，1人舂成糙米，1人舂成粺米，1人舂成精米，令所冲出的米数相等。问：各人取的粟、舂成的米是多少？
答：舂成糙米取粟 斗。舂成粺米取粟 斗。舂成精米取粟 斗。最终每人舂出米 斗。
解法：换算率糙米30，粺米27，精米24，用返衰法则。（刘徽注：先约简3率：糙米10，粺米9，精米8。想要使米数相等，取粟：糙米率 ，粺米率 ，精米率 。应当使分子相齐，所以称返衰。李淳风注：米有精粗的区别，粟有多少的差别。根据率，粺米、精米少而糙米多；用的粟，粺米、精米取得多而糙米取得少。如果依照这个率取粟，粟就违背了它们的率。所以现在用返衰法则，使舂成精细米的取得多，而舂成粗米的取得少。）分配率相加作为除数。用7斗分别乘未相加的分配率作为所取粟的被除数。被除数除以除数，得到各人取粟的斗数。如果求相等的米数，用各自的本率分别乘以已确定的所取的粟数，作为被除数，用粟率50作为除数，被除数除以除数，得到各人取粟的斗数。（刘徽注：如果直接求舂成的米相等的数量，列出糙米3，用粟5；粺米27，用粟50；精米12，用粟25。使粟数相齐，米数相同，3个齐相加作为被除数。用7斗乘米数同作为被除数。计算所得即为舂成的米的斗数。）
今有人当禀粟二斛。仓无粟，欲与米一、菽二，以当所禀粟。问：各几何？
答曰：米五斗一升七分升之三。菽一斛二升七分升之六。
术曰：置米一、菽二，求为粟之数。并之，得三、九分之八，以为法。亦置米一、菽二，而以粟二斛乘之，各自为实。实如法得一斛。臣淳风等谨按：置粟率五，乘米一，米率三除之，得一、三分之二，即是米一之粟也；粟率十，以乘菽二，菽率九除之，得二、九分之二，即是菽二之粟也。并全，得三。齐子，并之，得二十四；同母，得二十七；约之，得九分之八。故云“并之，得三、九分之八”。米一、菽二当粟三、九分之八，此其粟率也。于今有术，米一、菽二皆为所求率，当粟三、九分之八，为所有率，粟二斛为所有数。凡言率者，当相与。通之，则为米九、菽十八，当粟三十五也。亦有置米一、菽二，求其为粟之率，以为列衰。副并为法，以粟乘列衰为实。所得即米一、菽二所求粟也。以米、菽本率而今有之，即合所问。
译文
现有人应当领粟2斛。但仓库没有粟了，想要用1份米、2份大豆，当作粟给该人。问：米、大豆各应给多少？
答：米5斗 升。大豆1斛 升。
解法：列出米1、大豆2，折算成粟。相加，得 ，作为除数。再列出米1、大豆2，乘以粟2斛，分别作为被除数。被除数除以除数，得到米、大豆的斛数。（李淳风注：使粟率5乘米1，除以米率3，得 ，这是与米1相当的粟；粟率10，乘以大豆2，大豆率除以9，得 ，即为与大豆2相当的数。两者相加得3。使分子相齐，相加，得24；分母相同，得27；约简，得 。所以说“相加，得 ”。米1、大豆2折算成粟 ，这是粟的率，运用今有法则，米1、大豆2都为所求率，粟 为所有率，粟2斛为所有数。凡是说到率，都互相通达。所以米9、大豆18，折合粟35。也可以用米1、大豆2，求折算成粟的率，作为分配率。相加作为除数，用粟数乘分配率作为被除数。所得即为米1、大豆2的应取的粟数。按米、大豆的折算率，用今有法则折算成米、大豆，即为所求。）
今有取佣，负盐二斛，行一百里，与钱四十。今负盐一斛七斗三升少半升，行八十里。问：与钱几何？
答曰：二十七钱一十五分钱之一十一。
术曰：置盐二斛升数，以一百里乘之为法。按：此术以负盐二斛升数乘所行一百里，得二万里。是为负盐一升行二万里，得钱四十。于今有术，为所有率。 以四十钱乘今负盐升数，又以八十里乘之，为实。实如法得一钱。以今负盐升数乘所行里，今负盐一升凡所行里也。于今有术以所有数，四十钱为所求率也。衰分章“贷人千钱”与此同。
译文
现雇工，背盐2斛，行100里，付钱40。现背盐1斛7斗 升，行80里。问：付多少钱？
答： 钱。
解法：列出盐2斛的升数，乘100里作为除数。（刘徽注：本题用背盐2斛的升数乘行100里，得20000里。也就是背盐1升行20000里，付钱40。运用今有法则，这作为所有率。）用40钱乘现背盐的升数，再乘80里，作为被除数。被除数除以除数得付钱数。（刘徽注：用现背盐的升数乘行的里数，即现背盐1升行的里数。运用今有法则，这为所有数，40钱为所求率。衰分章的“贷人千钱”与本题意义相同。）
今有负笼，重一石行百步，五十返。今负笼重一石一十七斤，行七十六步，问：返几何？
答曰：五十七返二千六百三分返之一千六百二十九。
术曰：以今所行步数乘今笼重斤数为法。此法谓负一斤一返所行之积步也。 故笼重斤数乘故步，又以返数乘之，为实。实如法得一返。按：此法，负一斤一返所行之积步；此实者，一斤一日所行之积步。故以一返之课除终日之程，即是返数也。臣淳风等谨按：此术，所行步多者，得返少；所行步少者，得返多。然则故所行者，今返率也。故令所得返乘今返之率，为实，而以故返之率为法，今有术也。按：此负笼又有轻重，于是为术者因令重者得返少，轻者得返多。故又因其率以乘法、实者，重今有之义也。然此意非也。按：此笼虽轻而行有限，笼过重则人力遗。力有遗而术无穷，人行有限而笼轻重不等。使其有限之力随彼无穷之变，故知此术率乖理也。若故所行有空行返数，设以问者，当因其所负以为返率，则今返之数可得而知也。假令空行一日六十里，负重一斛，行四十里。减重一斗进二里半，负重二斗以下与空行同。今负笼重六斗，往返行一百步，问：返几何？答曰：一百五十返。术曰：置重行率，加十里，以里法通之，为实。以一返之步为法。实如法而一，即得也。
译文
现背竹筐，重1石，行100步，50次往返。现背竹筐重1石17斤，行76步，问：往返多少次？
答： 次。
解法：用现行的步数乘现背竹筐重的斤数作为除数。（刘徽注：这里除数是指背1斤1次往返所行的步数。）原先竹筐重的斤数乘原先的步数，乘以原先往返数，作为被除数。被除数除以除数得现往返的次数。（刘徽注：这里除数是指背1斤1次往返所行的步数，背1斤1次往返的所行步数；这里被除数是指背1斤1日往返所行的步数。所以用1次往返的步数除1日的步数，即为往返的次数。李淳风注：本题，全程步数多，往返的次数就少；全程步数少，往返的次数就多。原先每次行的步数，就是现在往返次数的率。所以使原先往返次数乘现在往返次数的率，作为被除数。原先往返次数的率作为除数，运用今有法则。本题背的竹筐有轻有重，所以解题者应使竹筐重者往返次数少，轻者往返次数多。所以根据它们的率乘除数、被除数，这是重今有法则的意义。但是这种解法是错误的。竹筐轻者行路也是有限的，竹筐过重人就不能背起。人力有限度而解法却认为是无穷的，人行路有限而竹筐的轻重不等。使有限的人力随轻重作无穷的变化，所以得知解法中的率是有违常理的。如果用原先空行往返次数，假设以此作问题，应当根据负重建立往返的率，则现在往返的次数可知。假设令空行1日60里，负重1斛行40里。减重1斗增加 里，负重2斗以下与空行相同。现负重6斗，往返行100步，问：1日往返多少次？答：150次。解法：列出负重行走的率，加10里，相通化为步数，作为被除数。用1次往返的步数作为除数。被除数除以除数，即可解答。）
今有乘传委输[1] ，空车日行七十里，重车日行五十里。今载太仓粟输上林[2] ，五日三返。问：太仓去上林几何？
答曰：四十八里一十八分里之一十一。
术曰：并空、重里数，以三返乘之，为法。令空、重相乘，又以五日乘之，为实。实如法得一里。此亦如上术。率：一百七十五里之路，往返用六日也。于今有术，则五日为所有数，一百七十五里为所求率，六日为所有率。以此所得，则三返之路。今求一返，当以三约之，因令乘法而并除也。为术亦可各置空、重行一里用日之率，以为列衰，副并为法。以五日乘列衰为实。实如法，所得即各空、重行日数也。各以一日所行以乘，为凡日所行。三返约之，为上林去太仓之数。按：此术重往空还，一输再还道。置空行一里用七十分日之一，重行一里用五十分日之一。齐而同之，空、重行一里之路，往返用一百七十五分日之六。完言之者，一百七十五里之路，往返用六日。故“并空、重”者，并齐也；“空、重相乘”者，同其母也。于今有术，五日为所有数，一百七十五为所求率，六为所有率。以此所得，则三返之路。今求一返者，当以三约之。故令乘法而并除，亦当约之也。
注释
[1] 传zhuàn：驿车。
[2] 太仓：古代京师储谷的大仓。上林：古宫苑名。秦旧苑，汉初荒废，至汉武帝时重新扩建。
译文
现乘驿车输送粮食，空车日行70里，负重车日行50里。现装载太仓的粟输送到上林苑，5日有3次往返。问：太仓到上林苑距离有多少？
答： 里。
解法：将空车、负重车日行里数相加，乘以3次往返，作为除数。将空车、负重车日行里数相乘，乘以5，作为被除数。被除数除以除数得到距离的里数。（刘徽注：本题如上题。率：175里路，往返6日。运用今有法则，则5日为所有数，175里为所求率，6日为所有率。所求得的里数则为3次往返的里数。现求1次往返，应当用3约简，所以用3乘以除数一并除去。本题也可以列出空车、负重车行1里所用日数的率，作为分配率，相加作为除数。5日分别乘以分配率作为被除数。被除数除以除数，所得分别为空车、负重车行的日数。各乘以1日行的里数，为1日的总行程数。除以3次往返，即为上林苑到太仓的距离。本题负重车去，空车回，1次输送在道上行2遍。列出空车行1里用 ，负重车1里用 。使它们齐同，空车、负重车行1里路，往返共用 日。用整数表示，175里路，往返用6日。所以“将空车、负重车日行里数相加”的原因，是将所齐的分子相加；“将空车、负重车日行里数相乘”的原因，是使分母相同。运用今有法则，5日作为所有数，175作为所求率，6作为所有率。所得为3次往返的里数。现求1次往返，应当用3约简。所以用3乘除数然后一并连除，也相当于用3约简。）
今有络丝一斤为练丝一十二两[1] ，练丝一斤为青丝一斤一十二铢[2] 。今有青丝一斤，问：本络丝几何？
答曰：一斤四两一十六铢三十三分铢之一十六。
术曰：以练丝十二两乘青丝一斤一十二铢为法。以青丝一斤铢数乘练丝一斤两数，又以络丝一斤乘，为实。实如法得一斤。按：练丝一斤为青丝一斤十二铢，此练率三百八十四，青率三百九十六也。又络丝一斤为练丝十二两，此络率十六，练率十二也。置今有青丝一斤，以练率三百八十四乘之，为实。实如青丝率三百九十六而一。所得，青丝一斤，练丝之数也。又以络率十六乘之，所得为实，以练率十二为法，所得，即练丝用络丝之数也。是谓重今有也。虽各有率，不问中间。故令后实乘前实，后法乘前法而并除也。故以练丝两数为实，青丝铢数为法。一曰：又置络丝一斤两数与练丝十二两，约之，络得四，练得三。此其相与之率。又置练丝一斤铢数与青丝一斤一十二铢，约之，练得三十二，青得三十三。亦其相与之率。齐其青丝、络丝，同其二练，络得一百二十八，青得九十九，练得九十六，即三率悉通矣。今有青丝一斤为所有数，络丝一百二十八为所求率，青丝九十九为所有率。为率之意犹此，但不先约诸率耳。凡率错互不通者，皆积齐同用之。放此，虽四五转不异也。言“同其二练”者，以明三率之相与通耳，于术无以异也。又一术：今有青丝一斤铢数乘练丝一斤两数，为实；以青丝一斤一十二铢为法。所得，即用练丝两数。以络丝一斤乘所得为实，以练丝十二两为法，所得，即用络丝斤数也。
注释
[1] 络丝：生丝。练丝：未染色的熟丝。
[2] 青丝：青色的丝线或绳缆。
译文
现有络丝1斤可练得练丝12两，练丝1斤可练得青丝1斤12铢。现有青丝1斤，问：原本是络丝多少？
答：1斤4两 铢。
解法：用练丝12两乘青丝1斤12铢作为除数。用青丝1斤的铢数乘练丝1斤的两数，再乘以络丝1斤，作为被除数。被除数除以除数得络丝的斤数。（刘徽注：练丝1斤练得青丝1斤12铢，这里练丝率384，青丝率396。络丝1斤练成练丝12两，这里络丝率16，练丝率12。列出现有青丝1斤，乘以络丝率384，作为被除数。除以青丝率396。所得为青丝1斤所需的练丝数。再乘以络丝率16，所得作为被除数，以练丝率12作为除数，所得即为练丝所需的络丝数。这是重今有法则。虽然各有率，可以不问中间的率。使后面的被除数乘前面的被除数，后面的除数乘前面的除数，一并连除。所以用练丝的两数作为被除数，青丝的铢数作为除数。另一种解法：列出络丝1斤的两数与练丝12两，约简，络丝得4，练丝得3。这是它们的最简之比。再列出练丝1斤的铢数与青丝1斤12铢，约简，练丝得32，青丝得33。这也是它们的最简之比。使青丝、络丝率相齐，使练丝的两个率相同，络丝得128，青丝得99，练丝得96，即3率相互通达。现有青丝1斤作为所有数，络丝128作为所求率，青丝99作为所有率。建立率的意义也是这样，只是不先约简率罢了。凡是率互不相通，都先用齐同法则。仿照本题，即使转换4、5次，也不会有差错。“使练丝的两个率相同”的原因，是明确三种丝的率相互通达，与本题解法没有不同。再一种解法：现有青丝1斤的铢数乘练丝1斤的两数，作为被除数；用青丝1斤12铢作为除数。所得即为练丝的两数。乘以络丝1斤作为被除数，用练丝12两作为除数，所得即为络丝的斤数。）
今有恶粟二十斗[1] ，舂之，得粝米九斗。今欲求粺米一十斗，问：恶粟几何？
答曰：二十四斗六升八十一分升之七十四。
术曰：置粝米九斗，以九乘之，为法。亦置粺米十斗，以十乘之，又以恶粟二十斗乘之，为实。实如法得一斗。按：此术置今有求粺米十斗，以粝米率十乘之，如粺率九而一，即粺化为粝，又以恶粟率二十乘之，如粝率九而一，即粝亦化为恶粟矣。此亦重今有之义。为术之意，犹络丝也。虽各有率，不问中间。故令后实乘前实，后法乘前法，而并除之也。
注释
[1] 恶粟：劣粟。
译文
现有劣粟20斗，舂得糙米9斗。现想要粺米10斗，问：需劣粟多少？
答：24斗 升。
解法：列出糙米9斗，乘以9，作为除数。再列出粺米10斗，乘以10，又乘以劣粟20斗，作为被除数。被除数除以除数得所需劣粟的斗数。（刘徽注：本题列出现想要的粺米10斗，乘以糙米率10，除以粺米率9，即为粺米折算为糙米，又乘以劣粟率20，除以糙米率9，即为糙米折算为劣粟。本题也含有重今有法则的意义。本题的意义，如同上面络丝题。虽然各有率，但可以不问中间的率。所以使后面的被除数乘前面的被除数，后面的除数乘前面的除数，一并连除。）
今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之。问：几何步及之？
答曰：二百五十步。
术曰：置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步，以为法。以善行者之一百步乘不善行者先行一百步，为实。实如法得一步。按：此术以六十步减一百步，余四十步，即不善行者先行率也；善行者行一百步，追及率。约之，追及率得五，先行率得二。于今有术，不善行者先行一百步为所有数，五为所求率，二为所有率，而今有之，得追及步也。
今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里。问：善行者几何里及之？
答曰：三十三里少半里。
术曰：置不善行者先行一十里，以善行者先至二十里增之，以为法。以不善行者先行一十里乘善行者一百里，为实。实如法得一里。按：此术不善行者既先行一十里，后不及二十里，并之，得三十里也，谓之先行率。善行者一百里为追及率。约之，先行率得三，三为所有率，而今有之，即得也。其意如上术也。
今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止。问：犬不止，复行几何步及之？
答曰：一百七步七分步之一。
术曰：置兔先走一百步，以犬走不及三十步减之，余为法。以不及三十步乘犬追步数为实。实如法得一步。按：此术以不及三十步减先走一百步，余七十步，为兔先走率。犬行二百五十步为追及率。约之，先走率得七，追及率得二十五。于今有术，不及三十步为所有数，二十五为所求率，七为所有率，而今有之，即得也。
译文
现行走快的人行100步，行走慢的人行60步。现行走慢的人先行100步，行走快的人追。问：多少步能追上？
答：250步。
解法：列出行走快的人100步，减去行走慢的人60步，剩余40步，作为除数。用行走快的人的100步乘行走慢的人先行100步，作为被除数。被除数除以除数得追及的步数。（刘徽注：本题用100步减去60步，剩余40步，即为行走慢的人的先行率；行走快的人行100步，为追及率。约简，追及率得5，先行率得2。运用今有法则，行走慢的人先行100步作为所有数，5为所求率，2为所有率，用今有法则，得到追及的步数。）
现行走慢的人先行10里，行走快的人追100里，比行走慢的人先到20里。问：行走快的人走了多少里追上的？
答： 里。
解法：列出行走慢的人先行10里，加上行走快的人先到的20里，作为除数。用行走慢的人的先行10里乘行走快的人行100里，作为被除数。被除数除以除数得追上的里数。（刘徽注：本题行走慢的人先行10里，加上落后的20里，得30里，就是先行率。行走快的人行100里，为追及率。约简，先行率得3，3为所有率。运用今有法则，即可求得追上的里数。本题的意义如同上题。）
现有兔先跑100步，狗追250步，还差30步没追上所以停止。问：如果狗不停止，再追多少步能够追上？
答： 步。
解法：列出兔先跑100步，减去狗没追上的30步，余数作为除数。用没追上的30步乘狗追的步数作为被除数。被除数除以除数得追上还应再跑的步数。（刘徽注：本题用先跑的100步减去没追上的30步，余数70步，作为兔的先走率。狗跑250步作为追及率。约简，先走率得7，追及率得25。运用今有法则，没追上的30步作为所有数，25作为所求率，7作为所有率，用今有法则计算，即可求得再追的步数。）
今有人持金十二斤出关，关税之，十分而取一。今关取金二斤，偿钱五千。问：金一斤直钱几何？
答曰：六千二百五十。
术曰：以一十乘二斤，以十二斤减之，余为法。以一十乘五千，为实。实如法得一钱。按：此术置十二斤，以一乘之，十而一，得一斤五分斤之一，即所当税者也。减二斤，余即关取盈金。以盈除所偿钱，即金直也。今术既以十二斤为所税，则是以十为母，故以十乘二斤及所偿钱，通其率。于今有术，五千钱为所有数，十为所求率，八为所有率，而今有之，即得也。
译文
现有人持金12斤出关，关税是 。现关卡收金2斤，偿还5000钱。问：金1斤值多少钱？
答：6250钱。
解法：用10乘2斤，减去12斤，余数作为除数。用10乘5000，作为被除数。被除数除以除数得到1斤金值的钱。（刘徽注：本题列出12斤，乘以1，除以10，得 斤，即为应缴纳的税数。减2斤，余数即为关卡多取的金。以多取的金除偿还的钱，即1斤金值的钱。本题以12斤作为缴纳的税，是以10作为分母，所以用10乘2斤及偿还的钱，使率相通。运用今有法则，5000钱作为所有数，10作为所求率，8作为所有率，用今有法则计算，即得1斤金值的钱。）
今有客马，日行三百里。客去忘持衣。日已三分之一，主人乃觉。持衣追及，与之而还，至家视日四分之三。问：主人马不休，日行几何？
答曰：七百八十里。
术曰：置四分日之三，除三分日之一，按：此术“置四分日之三，除三分日之一”者，除，其减也。减之余，有十二分之五，即是主人追客还用日率也。 半其余，以为法。去其还，存其往。率之者，子不可半，故倍母，二十四分之五。是为主人与客均行用日之率也。 副置法，增三分日之一。法二十四分之五者，主人往追用日之分也。三分之一者，客去主人未觉之前独行用日之分也。并连此数，得二十四分日之十三，则主人追及前用日之分也。是为客用日率也。然则主人用日率者，客马行率也；客用日率者，主人马行率也。母同则子齐，是为客马行率五，主人马行率十三。于今有术，三百里为所有数，十三为所求率，五为所有率，而今有之，即得也。 以三百里乘之，为实。实如法，得主人马一日行。欲知主人追客所行里者，以三百里乘客用日分子十三，以母二十四而一，得一百六十二里半。以此乘客马与主人均行日分母二十四，如客马与主人均行用日分子五而一，亦得主人马一日行七百八十里也。
译文
现有客人的马日行300里。客人离去时忘记带衣服。可是已经过了 ，主人才发现。带上衣服追上，还衣服后返回，到家是 日。问：主人的马不休息，日行多少？
答：780里。
解法： 日，除去 日，（刘徽注：本题中“ 日，除去 日”，除，这里是减的意思。减得的余数，是 ，即为主人追客人和返回用的日率。）余数取半，作为除数。（刘徽注：去掉返回的时间，保留追赶的时间。率，分子不可取半，所以分母加倍，得 。这是主人和客人的马同方向行走用的日率。）列出除数，加 日。（刘徽注：除数 ，主人追到客人所用的日数的分数。 ，是客人离去主人未发觉之前独行的日数的分数。两数相加，得 ，是主人追上之前用的日数的分数。是追上之前客人用的日数的率。主人用的日率，是客人马的行率；客人用的日率，是主人马的行率。分母同分子齐，所以客人马的行率5，主人马的行率13。运用今有法则，300里作为所有数，13作为所求率，5作为所有率，用今有法则计算，即可求得主人的马日行里数。）乘以300里，作为被除数，被除数除以除数，得主人的马日行里数。（刘徽注：想要知道主人追客人所行的里数，用300里乘客人用的分子13，除以分母24，得 里。乘客人马与主人马同时行走日数的分母24，除以客人马与主人马同时行走日数的分子5，也求得主人马日行780里。）
今有金箠[1] ，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤。问：次一尺各重几何？
答曰：末一尺重二斤；次一尺重二斤八两；次一尺重三斤；次一尺重三斤八两；次一尺重四斤。
术曰：令末重减本重，余，即差率也。又置本重，以四间乘之，为下第一衰。副置，以差率减之，每尺各自为衰。按：此术五尺有四间者，有四差也。今本末相减，余即四差之凡数也。以四约之，即得每尺之差。以差数减本重，余即次尺之重也。为术所置，如是而已。今此率以四为母，故令母乘本为衰，通其率也。亦可置末重，以四间乘之，为上第一衰。以差重率加之，为次下衰也。 副置下第一衰，以为法。以本重四斤遍乘列衰，各自为实。实如法得一斤。以下第一衰为法，以本重乘其分母之数，而又反此率乘本重，为实。一乘一除，势无损益，故惟本存焉。众衰相推为率，则其余可知也。亦可副置末衰为法，而以末重二斤乘列衰为实。此虽迂回，然是其旧。故就新而言之也。
注释
[1] 箠：鞭子。
译文
现有金鞭，长5尺，斩根部1尺，重4斤；斩顶部1尺，重2斤。问：每尺各重多少？
答：顶部1尺重2斤；下1尺重2斤8两；再下1尺重3斤；再下1尺重3斤8两；根部1尺重4斤。
解法：使根部1尺的重量减去顶部1尺的重量，余数即为差率。又列出根部的重量，用间隔4相乘，作为最下一段的分配率。再逐渐减去差率，各自作为每尺的分配率。（刘徽注：本题5尺有4个间隔，所以有4个等差。用4约简，即为每尺差。用根部重量减去差，就是下面第2尺重。本题的意思就是如此。这里，率以4为分母，所以令分母乘根部重量作为分配率，使率相通。也可以列出顶部重量，用4间隔相乘，为最上段的分配率。逐渐增加差率作为下面每段的分配率。）列出最下段的分配率，作为除数。用根部重4斤分别乘每尺的分配率，作为被除数。被除数除以除数得每尺的斤数。（刘徽注：以最下一段作为除数，以根部重量乘它的分母，再反过来以这个率乘根部的重量作为被除数。一乘一除，数值无减少无增加，只保存了根部的重量。由以上的分配率可以推导出率，可知其余各尺重量。也可以列出最上段的分配率，作为除数，以顶部重2斤乘分配率作为被除数。这种解法虽然迂回，原理却是原先的。所以也可以说是新的方法。）
今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等。问：各得几何？
答曰：甲得一钱六分钱之二，乙得一钱六分钱之一，丙得一钱，丁得六分钱之五，戊得六分钱之四。
术曰：置钱，锥行衰。按：此术“锥行”者，谓如立锥：初一、次二、次三、次四、次五，各均，为一列者也。 并上二人为九，并下三人为六。六少于九，三。数不得等，但以五、四、三、二、一为率也。 以三均加焉，副并为法。以所分钱乘未并者，各自为实。实如法得一钱。此问者，令上二人与下三人等，上、下部差一人，其差三。均加上部，则得二三；均加下部，则得三三。上、下部犹差一人，差得三。以通于本率，即上、下部等也。于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，五钱为所有数，而今有之，即得等耳。假令七人分七钱，欲令上二人与下五人等，则上、下部差三人。并上部为十三，下部为十五。下多上少，下不足减上。当以上、下部列差而后均减，乃合所问耳。此可仿下术：令上二人分二钱半为上率，令下三人分二钱半为下率。上、下二率以少减多，余为实。置二人、三人，各半之，减五人，余为法。实如法得一钱，即衰相去也。下衰率六分之五者，丁所得钱数也。
译文
现5人分5钱，使上2人得钱与下3人得钱相等。问：各分得多少钱？
答：甲 钱，乙 钱，丙1钱，丁 钱，戊 钱。
解法：列出钱数，按锥形分配率。（刘徽注：本题“锥形分配率”，形状如同立锥：由上至下分别为1、2、3、4、5，都均匀排成1列。）上2人的分配率相加为9，下3人的分配率相加为6。6比9少3。（刘徽注：各分配率不能相等。以5、4、3、2、1建立率。）分配率均等地加3，相加作为除数。以所分的钱数乘未相加的分配率，分别作为被除数。被除数除以除数得到每人分到的钱。（刘徽注：本题令上2人与下3人分得钱相等。上下差1人，分配率差3。将3均等地加到上2人的分配率上，即加了两个3；将3均等地加到下3人的分配率上，即加了三个3，上下还差1人，分配率差3。使它和原本的率相通，即上下分配率之和相等。运用今有法则，相加作为所有率，未相加的分配率作为所求率，5钱作为所有数，根据今有法则计算，即可解答。假设7人分7钱，想要令上2人与下5人相等，则上下差3人。上2人分配率13，下5人分配率15。下部多上部少，下部不足减上部。应当用上、下的均差均匀相减，这才符合问题。也可以仿照下题：令上2人分 为上率，下3人分 为下率。上下2率以少减多，余数作为被除数。列出2人、3人，各取半，减5人，余数作为除数。被除数除以除数得钱数，即是公差。下部的分配率平均 ，就是丁所得的钱数。）
今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升。问：中间二节欲均容，各多少？
答曰：下初一升六十六分升之二十九，次一升六十六分升之二十二，次一升六十六分升之一十五，次一升六十六分升之八，次一升六十六分升之一，次六十六分升之六十，次六十六分升之五十三，次六十六分升之四十六，次六十六分升之三十九。
术曰：以下三节分四升为下率，以上四节分三升为上率。此二率者，各其平率也。 上、下率以少减多，余为实。按：此上、下节各分所容为率者，各其平率。“上、下以少减多”者，余为中间五节半之凡差，故以为实也。 置四节、三节，各半之，以减九节，余为法。实如法得一升，即衰相去也。按：此术法者，上、下节所容已定之节，中间相去节数也；实者，中间五节半之凡差也。故实如法而一，则每节之差也。 下率一升少半升者，下第二节容也。一升少半升者，下三节通分四升之平率。平率即为中分节之容也。
译文
现有竹9节，下3节容积4升，上4节容积3升。问：要想中间2节均匀递减，每节容积各是多少？
答：最下一节 ，其次是 ，其次是 ，其次是 ，其次是 ，其次是 ，其次是 ，其次是 ，其次是 。
解法：以下3节共分4升，作为下率，以上4节共分3升，作为上率。（刘徽注：这两个率分别是平均值。）上、下率多的减去少的，余数作为被除数。（刘徽注：本题上、下节容积的率，分别是它们的平均率。“上、下率多的减去少的”，余数是中间 节首尾的总差，所以作为被除数。）列出4节、3节，分别取半，以它们减9节，余数作为除数。被除数除以除数得到的升数，即为每节容积的公差。（刘徽注：本题中，除数就是容积确定的上、下节相距的节数，被除数就是中间 节首尾的总差。所以被除数除以除数，就是每节的差。）下率 升，就是下数第2节的容积。（刘徽注： 升是下3节共分4升的平均率。平率就是中间节的容积。）
今有凫起南海[1] ，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫、雁俱起，问：何日相逢？
答曰：三日十六分日之十五。
术曰：并日数为法，日数相乘为实，实如法得一日。按：此术置凫七日一至，雁九日一至。齐其至，同其日，定六十三日凫九至，雁七至。今凫、雁俱起而问相逢者，是为共至。并齐以除同，即得相逢日。故“并日数为法”者，并齐之意；“日数相乘为实”者，犹以同为实也。一曰：凫飞日行七分至之一，雁飞日行九分至之一，齐而同之，凫飞定日行六十三分至之九，雁飞定日行六十三分至之七。是为南北海相去六十三分，凫日行九分，雁日行七分也。并凫、雁一日所行，以除南北相去，而得相逢日也。
注释
[1] 凫：野鸭子。
译文
现有野鸭从南海起飞，7日飞到北海；大雁从北海起飞，9日飞到南海。现在野鸭、大雁同时起飞，问：几日可相遇？
答： 日。
解法：将日数相加作为除数，日数相乘作为被除数，被除数除以除数得到相遇日数。（刘徽注：本题列出野鸭飞到需要7日，大雁飞到需要9日。要使它们飞行次数相齐，飞行日数相同，则到63日内野鸭飞行9次，大雁飞行7次。现在野鸭、大雁同时起飞，求相遇时间，也就是同时飞到。齐相加，除同，得到相遇日数。所以“将日数相加作为除数”，就是齐相加的意思；“日数相乘作为被除数”，就是以同作为被除数。另一种解法：野鸭日行全程的 ，大雁日行全程的 ，将它们齐同，野鸭日行全程的 ，大雁日行全程的 。也就是，南、北海相距63份，野鸭日行9份，大雁日行7份。野鸭、大雁日行相加，除南、北海距离，得到相遇的日数。）
今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲乃发长安，问：几何日相逢？
答曰：二日十二分日之一。
术曰：并五日、七日，以为法。按：此术“并五日、七日为法”者，犹并齐为法。置甲五日一至，乙七日一至。齐而同之，定三十五日甲七至，乙五至。并之为十二至者，用三十五日也。谓甲、乙与发之率耳。然则日化为至，当除日，故以为法也。 以乙先发二日减七日，“减七日”者，言甲、乙俱发，今以发为始发之端，于本道里则余分也。 余，以乘甲日数为实。七者，长安去齐之率也；五者，后发相去之率也。今问后发，故舍七用五。以乘甲五日，为二十五日。言甲七至，乙五至，更相去，用此二十五日也。 实如法得一日。一日甲行五分至之一，乙行七分至之一。齐而同之，甲定日行三十五分至之七，乙定日行三十五分至之五。是为齐去长安三十五分，甲日行七分，乙日行五分也。今乙先行发二日，已行十分，余，相去二十五分。故减乙二日，余，令相乘，为二十五分。
译文
现有甲从长安出发，5日到齐；乙从齐出发，7日到长安。现乙先出发2日，甲才从长安出发，问：几日可相遇？
答： 日。
解法：5日、7日相加，作为除数。（刘徽注：本题“5日、7日相加，作为除数”，仍然是齐相加作为除数的意思。甲5日可到，乙7日可到。将它们齐同，35日甲可行7次，乙可行5次。相加为12次，用35日。这是甲、乙同时出发的率。但是日数化为到达的次数，应当除以日数，所以这个率作为除数。）7日减去乙先出发的2日，（刘徽注：“减7日”，意思是甲、乙同时出发，现在用同时出发作为路程的开端，两人所行的路程就是乙已经行的路程的剩余路程。）余数乘甲行的日数作为被除数。（刘徽注：7日是长安到齐的率，5日是甲后出发时甲乙相距的率。已知甲后出发，所以舍7用5。5乘以甲行的5日，得25日。甲可行7次，乙可行5次，甲乙相遇，用25日。）被除数除以除数得到相遇日数。（刘徽注：甲日行全程的 ，乙日行全程的 。将它们齐同，甲日行全程的 ，乙日行全程的 。也就是，齐距离长安35份，甲日行7份，乙日行5份。现在乙先行2日，已经行10份，余数，相距25份。所以减去乙先行的2日，余数相乘，为25份。）
今有一人一日为牝瓦三十八枚[1] ，一人一日为牡瓦七十六枚[2] 。今令一人一日作瓦，牝、牡相半，问：成瓦几何？
答曰：二十五枚少半枚。
术曰：并牝、牡为法，牝、牡相乘为实，实如法得一枚。此意亦与凫雁同术。牝、牡瓦相并，犹如凫、雁日飞相并也。按：此术“并牝、牡为法”者，并齐之意；“牝、牡相乘为实”者，犹以同为实也。故实如法即得也。
注释
[1] 牝pìn瓦：俯瓦，即筒瓦。
[2] 牡瓦：仰瓦，即板瓦。
译文
现有1人1日可制作牝瓦38枚，1人1日可制作牡瓦76枚。现令1人1日制作瓦，牝瓦、牡瓦各半，问：制作了多少瓦？
答： 枚。
解法：牝瓦、牡瓦相加作为除数，牝瓦、牡瓦相乘作为被除数，被除数除以除数得到瓦的枚数。（刘徽注：本题意义如同野鸭大雁题。牝瓦、牡瓦相加如同野鸭、大雁相加。本题“牝瓦、牡瓦相加作为除数”，是齐相加的意思；“牝瓦、牡瓦相乘作为被除数”，是以同作为被除数的意思。所以被除数除以除数即得瓦数。）
今有一人一日矫矢五十[1] ，一人一日羽矢三十，一人一日筈矢十五[2] 。今令一人一日自矫、羽、筈，问：成矢几何？
答曰：八矢少半矢。
术曰：矫矢五十，用徒一人；羽矢五十，用徒一人太半人；筈矢五十，用徒三人少半人。并之，得六人，以为法。以五十矢为实。实如法得一矢。按：此术言成矢五十，用徒六人，一日工也。此同工其作，犹凫、雁共至之类，亦以同为实，并齐为法。可令矢互乘一人为齐，矢相乘为同。今先令同于五十矢。矢同则徒齐，其归一也。以此术为凫雁者，当雁飞九日而一至，凫飞九日而一至七分至之二，并之，得二至七分至之二，以为法。以九日为实。实如法而一，得一人日成矢之数也。
注释
[1] 矢：箭。
[2] 筈：箭的末端，射箭时搭在弓弦上的部分。
译文
现有1人1日矫正箭杆50枝，1人1日装箭翎30枝，1人1日装箭尾15枝。现令1人1日自己完成矫正箭杆、装箭翎和装箭尾，问：可以制成箭多少枝？
答： 枝。
解法：矫正箭杆50枝，用1人；装箭翎50枝，用 人；装箭尾50枝，用 人。将它们相加，得6人，作为除数。以50枝箭作为被除数。被除数除以除数得到箭数。（刘徽注：本题制成箭50枝，用6人，1日的工作量。这是同工协作类的问题，如同野鸭、大雁相遇问题，也是以同作为被除数，齐相加作为除数。可以使枝数乘1人作为齐，枝数相乘作为同。现先令同于50枝箭，箭的枝数相同，人数应与它相齐，这是归一方法。将本方法应用于野鸭大雁题，大雁飞9日到达1次，野鸭飞9日到达 次，相加，得 次，作为除数。以9日作为被除数。被除数除以除数得到1人1日制成箭数。）
今有假田[1] ，初假之岁三亩一钱，明年四亩一钱，后年五亩一钱。凡三岁得一百。问：田几何？
答曰：一顷二十七亩四十七分亩之三十一。
术曰：置亩数及钱数。令亩数互乘钱数，并以为法。亩数相乘，又以百钱乘之，为实。实如法得一亩。按：此术令亩互乘钱者，齐其钱；亩数相乘者，同其亩。同于六十，则初假之岁得钱二十，明年得钱十五，后年得钱十二也。凡三岁得钱一百为所有数，同亩为所求率，四十七钱为所有率，今有之，即得也。齐其钱，同其亩，亦如凫雁术也。于今有术，百钱为所有数，同亩为所求率，并齐为所有率。臣淳风等谨按：假田六十亩，初岁得钱二十，明年得钱十五，后年得钱十二。并之得钱四十七，是为得田六十亩，三岁所假。于今有术，百钱为所有数，六十亩为所求率，四十七为所有率，而今有之，即合问也。
注释
[1] 假：借。
译文
现租田，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱。三年共交租100钱。问：田有多少？
答：1顷 亩。
解法：列出田的亩数和钱数。使亩数互乘钱数，相加作为除数。亩数相乘，又乘以100钱，作为被除数。被除数除以除数得到田的亩数。（刘徽注：本题使亩数互乘钱数，是为了使钱数相齐；亩数相乘，是为了使亩数相同。同于60，则第1年交钱20，第2年交钱15，第3年交钱12。3年共交钱100，作为所有数，同亩数作为所求率，47钱作为所有率，用今有法则即可解答。使钱数相齐，亩数相同，也如同野鸭大雁题。运用今有法则，100钱作为所有数，同亩数作为所求率，齐相加作为所有率。李淳风注：租田60亩，第1年交钱20，第2年交钱15，第3年交钱12。相加，得钱47。也就是田60亩，租3年的租金。用今有法则计算，100钱作为所有数，60亩作为所求率，47作为所有率，用今有法则，即可得到答案。）
今有程耕，一人一日发七亩，一人一日耕三亩，一人一日耰种五亩[1] 。今令一人一日自发、耕、耰种之，问：治田几何？
答曰：一亩一百一十四步七十一分步之六十六。
术曰：置发、耕、耰亩数，令互乘人数，并，以为法。亩数相乘为实。实如法得一亩。此犹凫雁术也。臣淳风等谨按：此术亦发、耕、耰种亩数互乘人者，齐其人；亩数相乘者，同其亩。故并齐为法，以同为实。计田一百五亩，发用十五人，耕用三十五人，种用二十一人，并之，得七十一工。治得一百五亩，故以为实。而一人一日所治，故以人数为法除之，即得也。
注释
[1] 耰yōu：粉碎土块的农具。也指用耰进行耕作。
译文
现按标准量耕作，1人1日开垦7亩，1人1日耕地3亩，1人1日播种5亩。现令1人1题自己开垦、耕地、播种，问：完成田地多少？
答：1亩 步。
解法：列出开垦、耕地、播种的亩数，使它互乘人数，相加作为除数。亩数相乘作为被除数。被除数除以除数得到田的亩数。（刘徽注：本题如同野鸭大雁题。李淳风注：本题令开垦、耕地、播种的亩数互乘人数，是为了使人数相齐；亩数相乘，是为了使亩数相同。所以齐相加作为除数，为了使被除数相同。也就是，田105亩，开垦用15人，耕地用35人，播种用21人，相加共有71人。整治105亩，作为被除数。求1人1日所整治亩数，所以以人数作为除数，即可解答。）
今有池，五渠注之。其一渠开之，少半日一满；次，一日一满；次，二日半一满；次，三日一满；次，五日一满。今皆决之，问：几何日满池？
答曰：七十四分日之十五。
术曰：各置渠一日满池之数，并，以为法。按：此术其一渠少半日满者，是一日三满也；次，一日一满；次，二日半满者，是一日五分满之二也；次，三日满者，是一日三分满之一也；次，五日满者，是一日五分满之一也。并之，得四满十五分满之十四也。 以一日为实，实如法得一日。此犹矫矢之术也。先令同于一日，日同则满齐。自凫雁至此，其为同齐有二术焉，可随率宜也。
其一术：各置日数及满数。令日互相乘满，并，以为法。日数相乘为实。实如法得一日。亦如凫雁术也。按：此其一渠少半日满池者，是一日三满池也；次，一日一满；次，二日半满者，是五日再满；次，三日一满；次，五日一满。此谓列置日数于右行，及满数于左行。以日互乘满者，齐其满；日数相乘者，同其日。满齐而日同，故并齐以除同，即得也。
译文
现有水池，5条水渠注水。只开第1条渠， 日可装满；开第2条渠，1日可装满；开第3条渠， 日可装满；开第4条渠，3日可装满；开第5条渠，5日可装满。现同时用5渠注水，问：多少日装满水池？
答： 日。
解法：分别列出水渠1日装满的水池数，相加作为除数。（刘徽注：本题第1条渠 日注满，也就是1日可以注满3次；第2条渠1日注满；第3条渠 日注满，也就是1日注满 池；第4条渠3日注满，也就是1日可以注满 池；第5条渠5日注满，也就是1日可以注满 池。相加，得 池。）以1日作为被除数，被除数除以除数得到所求日数。（刘徽注：这就像矫正箭矢的方法。先让它们都在同1日，日数相同则满池之数相平齐。从野鸭大雁问题到此，它们用齐同的方法有两种，可随时根据需要，用适宜方法来解。）
另一种解法：分别列出日数和注满水池数。令日数互乘注满水池数，相加作为除数。日数相乘作为被除数。被除数除以除数得到所求日数。（刘徽注：也如同野鸭大雁题。第1条渠 日注满，也就是1日可以注满3次；第2条渠1日注满；第3条渠 日注满，也就是5日注满2池；第4条渠3日注满；第5条渠5日注满。在右行列出日数，在左行列出注满水池数。用日数互乘注满水池数，使注满水池数相齐；日数相乘，使日数相同。注满水池数相齐，日数相同，所以齐相加除同，即可解答。）
今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问：本持米几何？
答曰：十斗九升八分升之三。
术曰：置米五斗，以所税者三之，五之，七之，为实。以余不税者二、四、六相互乘为法。实如法得一斗。此亦重今有也。所税者，谓今所当税之。定三、五、七皆为所求率，二、四、六皆为所有率。置今有余米五斗，以七乘之，六而一，即内关未税之本米也。又以五乘之，四而一，即中关未税之本米也。又以三乘之，二而一，即外关未税之本米也。今从末求本，不问中间，故令中率转相乘而同之，亦如络丝术。
又一术：外关三而取一，则其余本米三分之二也。求外关所税之余，则当置一，二分乘之，三而一。欲知中关，以四乘之，五而一。欲知内关，以六乘之，七而一。凡余分者，乘其母、子，以三、五、七相乘，得一百五，为分母；二、四、六相乘，得四十八，为分子。约而言之，则是余米于本所持三十五分之十六也。于今有术，余米五斗为所有数，分母三十五为所求率，分子十六为所有率也。
译文
现有人带米出3个关卡，外关征税3取1，中关征税5取1，内关征税7取1，剩余米5斗。问：原本带米多少？
答：10斗 升。
解法：米5斗，分别乘以征税数3、5、7，作为被除数。以剩余不征税数2、4、6互乘作为除数。被除数除以除数得到米的斗数。（刘徽注：本题具有重今有法则的意义。征税数就是现在应当征税的部分。定3、5、7都为所求率，2、4、6都为所有率。列出现有剩余米5斗，乘以7，除以6，即为内关未征税时原本的米数。再乘以5，除以4，即为中关未征税时原本的米数。再乘以3，除以2，即为外关未征税时原本的米数。现在从最终米数求原本的米数，不用问中间的率，所以中间的率辗转相乘而连除，如同络丝题。）
另一种解法：外关3取1，则其余的米是原本米数的 。（刘徽注：求外关征税后的剩余，应当取1，乘以2，除以3。想知道中关征税后的剩余，乘以4，除以5。想知道内关征税后的剩余，乘以6，除以7。求剩余的分数，就使分母、分子分别相乘，用3、5、7相乘，得105，作为分母；用2、4、6相乘，得48，作为分子。简约地表示，剩余的米数是原本的米数的 。运用今有法则，剩余米5斗作为所有数，分母35作为所求率，分子16作为所有率。）
今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一。并五关所税，适重一斤。问：本持金几何？
答曰：一斤三两四铢五分铢之四。
术曰：置一斤，通所税者以乘之，为实。亦通其不税者，以减所通，余为法。实如法得一斤。此意犹上术也。“置一斤，通所税者”，谓令二、三、四、五、六相乘，为分母，七百二十也。“通其所不税者”，谓令所税之余一、二、三、四、五相乘，为分子，一百二十也。约而言之，是为余金于本所持六分之一也。以子减母，凡五关所税六分之五也。于今有术，所税一斤为所有数，分母六为所求率，分子五为所有率。此亦重今有之义。又虽各有率，不问中间，故令中率转相乘而连除之，即得也。置一以为持金之本率，以税率乘之、除之，则其率亦成积分也。
译文
现有人带金出5个关卡，第1关征税2取1，第2关征税3取1，第3关征税4取1，第4关征税5取1，第5关征税6取1。5个关卡征税总和正好1斤。问：原本带金多少？
答：1斤3两 铢。
解法：列出1斤，通征税数连乘，作为被除数。也通不征税数，减通征税数，余数作为除数。被除数除以除数得到所求斤数。（刘徽注：本题意义如同上题。“列出1斤，通征税数连乘”的意思，是令2、3、4、5、6相乘，作为分母，得720。“通不征税数”的意思，是令征税的剩余1、2、3、4、5相乘，作为分子，得120。简约地表示，剩余的金是原本所带金的 。分母减去分子，5个关卡征税总共占原本金的 。运用今有法则，征税1斤作为所有数，分母6作为所求率，分子5作为所有率。本题具有重今有法则的意义。虽然有各自的率，但不问中间的率，所以令中间的率辗转相乘而连除，即可解答。列出1作为原本金的本率，用税率乘、除，这个率成为分数的积累。）
