1.1 几何命题1的物理意义

欧几里得几何学的宏伟大厦，是阅读该书的大多数读者在学生时代就很熟悉的，在这建筑的高高的楼梯上，认真的教师逼迫你们花了不知多少时间。对这座宏伟的大厦，你们的敬畏之心或许会多于热爱之心。凭着往昔的经验，如果有人说这门科学中的命题，哪怕是最冷僻的都是不真实的，你们一定会嗤之以鼻。但是，如果有人问：“既然这些命题是真实的，那么你们究竟是如何理解的呢？”或许你们的这种理所当然的骄傲态度就会马上消失。现在，让我们来考虑一下这个问题。

爱因斯坦手稿 摄影

爱因斯坦是20世纪伟大的科学家，他于1905年发表的《论动体的电动力学》是相对论诞生的标志，这篇文章是20世纪最伟大的论文。爱因斯坦在这篇论文中提出的狭义相对论，在很大程度上解决了19世纪末出现的经典物理学的危机，推动了整个物理学理论的革命。图为爱因斯坦的研究手稿。

“平面”“点”和“直线”之类的概念引发出了几何学，在大体上我们有确定的观念和几何学的一些简单的命题（公理）相联系，在这些观念的影响下，我们倾向于把简单的命题当做“真理”接受下来。然后以我们认为的合乎逻辑的方法，即用我们不得不认为是正当的逻辑推理过程，阐明其余的命题是公理的推论，也就是说这些命题已得到证明。于是，只要从公理中推导出的一个命题用的是公认的方法，那么这个命题就是正确的（“真实的”）。这样，各个几何命题是否“真实”就归结为公理是否“真实”。可是上述最后一个问题本身完全就没有意义，而且用几何学的方法无法解答。我们难道要问“过两点只有一条直线”是否真实？这当然不能。我们只能说，几何学研究的是称之为“直线”的东西，它说明每一直线唯一确定的性质是由该直线上的两点来确定。“真实”这一概念有由该直线上的两点来唯一确定的性质。与纯几何的论点不相符的是，“真实”在习惯上是指与一个“实在的”客体相当的意思；然而无论如何，几何学并不涉及其中所包含的观念与经验客体之间的关系，而只是涉及这些观念本身之间的逻辑联系。

球面螺旋 埃舍尔 木版画 1958年

1958年，埃舍尔遇到加拿大数学家考克斯特，两人成为终身的朋友。埃舍尔从考克斯特的一本书里偶然看到后者为揭示法国数学家庞加莱的双曲几何空间所绘的一个图示，意识到这可以作为他创作的一个主题，此后，他创作了球面螺旋这一作品，表现的是非欧几里得空间，螺旋纹从中心向四周无限缩小。

不难理解，我们不得不将这些几何命题称为“真理”。几何观念与自然界中具有正确形状的客体相对应，而具有正确形状的客体无疑是产生那些观念的唯一原因。几何学应制止这一过程，以便使它的结构获得最大的逻辑一致性。例如，在我们的思想习惯中，通过一个可视为固定的物体上的两点来查看“距离”的办法是根深蒂固的。我们在观察三个点位于一条直线时，如果适当地选择观察位置，用一只眼睛观测，使三个点的视位置2能够相互重合，我们也认为这三点位于同一直线。

连续的波 电脑合成

光是连续还是不连续，这个问题在19世纪末期困扰了科学家多年，这个问题也是19世纪末物理学危机中的一个显影。正是在这种物理学的危机蔓延中，才诞生了爱因斯坦的相对论原理。

如果依照我们的思考习惯，我们可以在欧几里得几何学中补充如下命题：在一个可视为固定的物体上的两个点永远对应于同一距离（直线间隔），而与该物体的位置发生的任何变化无关，那么，欧几里得几何学的命题就可以归结为关于所有固定物体的所有相对位置的命题。如此一来，几何学就可以看做是物理学的一个分支。现在，对几何命题是否是“真理”的问题，我们能够提出合理的解释。我们有理由问，对于与几何观念相联系的那些真实的东西，这些命题是否已被满足。用精确的术语来表达，也可以这样说：我们把具有此种意义的几何命题的“真实性”理解为该几何命题对于用圆规和直尺作图的有效性。

量子跃迁示意图 合成图片

量子跃迁是指电子由一个量子态过度到另一个量子态。如果量子吸收到能量，就会跃迁到较高的能量轨道上。当此电子回到原来的轨道时，就会以辐射光子的形式释放出相同的能量。

当然，以此断定几何命题的“真实性”，其基础是不大完整的经验。但我们目前暂且认定这种“真实性”。然后在后一阶段将会看到，这种“真实性”是有限的，那时再来讨论这种有限性的范围。

附〉〉〉几何学的历史

“几何”这个词在汉语里是“多少”的意思，但在数学里，“几何”来源于希腊文，原意是“土地测量”，或叫“测地术”。

几何学是研究空间和图形性质的一门数学分科。

在远古时代，人们在实践中积累了十分丰富的各种平面、直线、方、圆、长、短、宽、窄、厚、薄等概念，这些后来就成了几何学的基本概念。

约公元前1700年，埃及人阿默斯手抄了一本书，名为“阿默斯手册”，里面载有很多关于面积的测量法以及关于金字塔的几何问题。

在古希腊，数学家如泰勒（约前640—前546年）、毕达哥拉斯（约前582—前493年）、依卜加（前430—？）、柏拉图（前427—前347年）、欧几里得（约前330—前275年）等人，对几何学都有很大的功绩。

泰勒曾发现若干几何定理和证明的方法，这是理论几何的开端。他能运用几何定理来解决实际问题，凭一根竹竿就可以测得金字塔的高。

毕达哥拉斯认为数学是一切学问的基础。他对几何学有很多研究，著名的“勾股定理”在西方就叫做“毕达哥拉斯定理”。

依卜加编著了世界历史上第一部初等几何教科书。他首先使用了“反证法”，与柏拉图同为研究“几何三大问题”（①化圆为方，求作一正方形使其面积等于一已知圆；②三等分任意角；③倍立方，求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍）的有名的人，因而附带发现了许多几何定理。

柏拉图首创现在被视为证题利器的“分析法”。而确立缜密的定义和明晰的公理作为几何学的基础，这种思想也由柏拉图开其先河。

真正把几何总结成一门具有比较严密理论的学科的，是希腊数学家欧几里得。

欧几里得，古希腊数学家。他早年在雅典求学，熟知柏拉图的学说。公元前300年左右，受托勒密王（前364—前283年）之邀，到埃及统治下的亚历山大城工作，长期从事教学、研究和著述，涉及数学、天文、光学和音乐等诸领域。著作有《几何原本》、《已知数》、《纠错集》等。

《几何原本》，共分 13 卷，有 5 条公设、5 条公理、119 个定义和 465个命题，构成了历史上第一个数学公理体系。在书中，欧几里得首先给出了点、线、面、角、垂直、平行等定义，接着给出了关于几何和量的10条公理，公理后面是一个一个的命题及其证明。《几何原本》确立了数学的基本方法学：①建立了公理演绎体系，即用公理、公设和定义的推证方法。②将逻辑证明系统地引入数学中，确立了逻辑学的基本方法。③创造了几何证明的方法：分析法、综合法及归谬法。

从《几何原本》发表开始，几何才真正成为了一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。

17世纪，笛卡儿将坐标系引入几何学，这给几何学带来了革命性的进步。笛卡儿利用代数方法研究几何问题，从而建立了解析几何。

1799年，法国数学家蒙日发表了《画法几何》一书，提出用多面正投影图表达空间形体，于是诞生了画法几何。

1822年，彭赛列《论图形的射影性质》一书出版，为射影几何学奠定了基础。

19世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于1807年出版了《分析在几何学上的应用》一书，这是微分几何最早的一本著作。至此，微积分成了一门独立的数学分支。其后，高斯的《关于曲面的研究》，奠定了曲面论的基础。

人体比例图 素描 1490年

这是现藏于威尼斯艺术学院的达·芬奇的人体比例图。达·芬奇认为，把完美的人体造型包含在一个圆形和正方形中是最成功的设想，而且人的体长是头长的八倍最为恰当和匀称。

探测太空 合成图片

随着航天技术的诞生，人类开始利用新兴的航天器探测太空的各种自然现象及其规律，同时借助地球外层空间的微重力、高真空、超低温、强辐射、高洁净和高远位置等特殊环境，开展各项科学研究和工艺实验，从而大大扩展了人类的活动范围，促进了空间科学向着更深、更广的领域发展。

高斯的曲面论经过黎曼的拓广，发展成黎曼几何学。

黎曼几何是爱因斯坦广义相对论的数学工具。

20世纪初，相对论的出现促进了黎曼几何的进一步发展。20世纪中期以来，随着数学其他分支（如拓扑学、微分方程和抽象代数）的发展，整体几何已经成为现代几何学的主要内容，在理论物理中有重大的应用。

立体空间分割 埃舍尔 石版画 1952年

这幅作品唯一的目的就是表现在二维纸面上无限延伸的空间。它并不像数学课本里所画的那些规则的空间结构，它是按照透视法则画出来的，这些看似彼此平行的线条其实会在遥远的地方汇聚在六个点，因为它的三维结构，因此会汇集在六个点。

〉〉〉物理与数学之间的关系

物理学，简称“物理”。“物理”一词的英文physics出自希腊文φυσικσξ，原意是指“自然”。古时欧洲人称物理学为“自然哲学”。在汉语、日语中，“物理”一词起源于明末清初科学家方以智的百科全书式著作《物理小识》。从最广泛的意义上来说，物理学是研究大自然现象及规律的学问。物理学家们研究存在于不同空间与时间内的物质的状态，研究物质的结构和运动的一般规律。在现代，物理学已经成为自然科学中最基础的学科之一。物理学理论通常以数学的形式表达出来。经过大量严格的实验验证的物理学规律被称为物理学定律。然而如同其他很多自然科学理论一样，有些定律不能被证明，其正确性只能通过反复的实验来检验。

数学是人类文化最基本的元素之一。它的语言构成了人类文化的有机体。

数学研究的是现实世界的空间形式和数量关系，包括算术、代数、几何、三角、微积分等。其特点是，高度的符号化、抽象化、形式化、逻辑化、简单化。数学更接近于逻辑或者哲学，根据几个基本公理可以建立起一个逻辑体系。

爱德华·特勒 摄影

在爱因斯坦相对论的指导下，人们开始涉足对原子的利用领域。爱德华·特勒一生最显著的成就就是研制原子弹和氢弹，同时他一直认为发展核武器是十分必要的。

数学是自然科学之母。伽利略说过，“一个理论物理学家是某种程度的数学家”。为了方便理解，物理学从数学中寻找工具。数学为物理学提供了一种准确的语言来进行描述，比如欧氏几何与牛顿的平直时空观和非欧几何与爱因斯坦的弯曲时空观。另外，数学还为物理学提供了一个逻辑体系，以便进行分析与推导，比如在平直时空观下物体应该怎么运动，怎么相互作用，而在弯曲时空下又是如何。

数学为物理学带来了巨大的成功，但不能认为没有数学就没有物理学（法拉第是最好的例子，他的数学很差，他的成就取决于他对物理学的理解）。经典物理学的确立直接导致了微积分的诞生，而量子力学又为数论打破了瓶颈。物理学的发展同时又导致了数学的进步。

作为基础学科，数学与物理学二者是相辅相成、缺一不可的。

“魔鬼的树桩” 资料图片

柏拉图重视数学，强调数学在训练智力方面的作用，主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，将抽象的逻辑规律体现于几何图形中。图中为玄武岩组成的火山的岩石龟裂图——一些规则的几何图形。