2.12 以广义相对性原理为基础解决地心引力问题

如果读者对于早先的问题已经全部理解，那么对于理解更深层次的万有引力就不会再有困难。

我们的考察从一个相对于伽利略参考物体K中没有引力场存在的一个区域开始。根据狭义相对论得出的量杆和钟相对于K以及“孤立”质点的行为都是已知的论述，其中，“孤立”质点沿直线做匀速运动。

三只球 埃舍尔 版画 1945年

这幅作品所要表达的是想在二维平面上表现三维空间的主题。自然科学透视法被发现以来，人们描摹自然的能力大大加强。三只球利用了球形镜面的反射原理。

现在，让我们考察这个区域时将参照物任意选取为K1中的一个高斯坐标系或者一个“软体动物”。与K1相对的存在有一个引力场G（特殊的种类），对于量杆、钟和自由运动的质点相对于K1的行为，通过数学变换可以得知，这即是量杆、钟和自由运动质点在引力场G影响下的行为，因此我们引进一个假设：引力场对量杆、钟和自由运动质点的影响将按照同样的定律继续发生，即使在当前的引力场中，坐标变换不能从伽利略特殊情况中简单地推导出来。

下一步是对引力场G的空间—时间行为的研究，引力场G源自于简单的坐标变换，由伽利略特殊情况导出。将这种行为阐明为一个定律，它总是始终有效的，而不必去管在这些描述中的参考物体（软体动物）的种类如何选定。

然而这个定律并不是普遍的引力场定律，因为考虑中的引力场是一种特殊的引力场。为了找出普遍场的引力，我们依然需要将上面建立的定律加以推广，这能说明我们并非在胡思乱想，这一推广根据下列各项要求得出：

（A）所求的推广必须同样满足广义相对性假定。

（B）如果在所考虑的区域中有任何物质存在，仅有它的惯性质量是重要的，依照第一章第十五节，也仅有它的能量在一个激发的场中是重要的。

（C）引力场加上物质必须满足能量（和冲量2）守恒定律。

银河系 太空摄影

银河系有一个由星球和气体组成的晕圈。太阳也只是银河系中1000亿颗恒星之一，银河系和其他旋涡星系一样，从球状中心伸展出一些弯曲、由星球组成的旋臂，它的直径是10万光年，太阳离它的中心是3万光年。

最后，广义相对性原理允许我们确定影响不存在的引力场的所有过程，可以根据存在的引力场的已知定律得出，这一过程是已经纳入狭义相对论范围的。关于这一点，我们继续下去的原则是按照已对量杆、钟和自由运动的质点解释过的方法进行。

引力论源自广义相对性公设的推导，它的优越之处不仅在于它的完美性，还在于消除本章第四节所显示的经典力学中令人不满意的方面和解释了惯性质量和引力质量相等的经验定律，并且它也解释了一个天文学的观测结果，这是经典力学无能为力的。

生命的起源 合成图片

广义而言，生命起源应当追溯到与生命有关的元素及化学分子的起源。因而生物圈演化的历程应当从宇宙形成之初，通过所谓“大爆炸”产生了碳、氢、氧、氮、硫、磷等构成生命的主要元素之时起。

如果我们认为引力论中的引力场相当薄弱，而且“场”内相对于坐标系运动的所有质量的速度与光速比较都相当小，那么，我们就第一次获得近似于牛顿的引力理论，因而后面理论的获得就不需要任何特别的假定。尽管牛顿当时引进了相互吸引的质点间的吸引力必须与质点间的距离的平方成反比这一假设，但如果我们提高计算的精确度，那么偏差就在牛顿理论下表现出来，这实际上都是观测所察觉不出来的必然的微小偏差。

哈 勃 摄影

现代宇宙学家哈勃站在施密特望远镜旁，在观测着太空。

在这里，我们必须提醒读者注意这些偏差。按照牛顿理论，行星沿椭圆形轨道围绕太阳运行，如果对恒星本身的运动以及对其他行星的作用忽略不计，那么这个椭圆形轨道相对于恒星的位置将永远保持不变。因此，如果我们能够正确地观测校正行星的运动，并且假如牛顿的理论是完全正确的话，那么一个相对于恒星系的固定不移的椭圆形轨道就是我们所得到的行星轨道。这个推论除离太阳最近的水星外，已经通过所有其他的行星得到了证实，而且其精确度是目前所可能的灵敏的观测所能达到的最高精度。自勒威耶时起，人们就知道，椭圆符合水星的轨道运动，经过对上述提及影响的校正后，水星相对于恒星系并不是固定不移的，而是非常缓慢地顺沿轨道的运动方向在轨道的平面内旋转。轨道椭圆的这种转动值是每世纪43"，其数值差保证下会超过几秒。对这一效应的解释，经典力学只能借助于引入一些不大可能成立的假定，这些假定的引入目的仅仅是为了解释这个效应。

以广义相对论为基础，我们发现，每一个围绕太阳运行的行星的椭圆轨道都必然以上面指出的方式转动。除水星外，所有行星的这种转动都太小，以我们现在拥有的观测灵敏度是无法探测的，但就水星而言，该数值必须达到每世纪43"，这个严格的结果与观测相一致。

除此以外，从广义相对论中我们演绎出两个可被观测检验所证实的推论，即光线因太阳引力场而发生弯曲，以及来自星体的光谱线与在陆地上以类似方式产生的（也就是同一种原子）光谱线相比较，有位移3现象发生。这两个推论都已经得到证实。

附〉〉〉广义相对论的诞生与证实

时空弯曲的程度，取决于宇宙中物质的分布情况：一个区域内的物质密度越大，时空的曲率也就越大。这样，太阳附近的时空就要比地球附近弯曲得利害，因为太阳的质量要大得多。用广义相对论来看宇宙，引力就不再同于经典力学中的概念，它已经被转化到时空的几何（曲率）中去了。爱因斯坦认为，引力产生于从狭义相对论的平直空间到广义相对论的弯曲空间的转换之中。

超弦理论 合成图片

超弦理论是现在最有希望将自然界的基本粒子和四种相互作用力统一起来的理论。超弦理论认为，弦是物质组成的最基本单元，所有的基本粒子如电子、光子、中微子和夸克都是弦的不同振动激发态。超弦理论第一次将20世纪的两大基础理论——广义相对论和量子力学——结合到一个数学上的框架里。超弦理论有可能解决一些长期困绕物理学家的世纪难题，如黑洞的本质和宇宙的起源。

这样，我们对一些日常事件的看法，比如，砸中牛顿脑袋的那只苹果砰然落地这样的事件，就从根本上改变了。引力不是一种经过空间作用在一段距离上的神秘的力，而是因为像地球这样的大质量物体，使空间和时间发生了畸变。我们把时空想象成一张平展的橡胶软垫，大质量的物体放上去，会使橡胶垫发生局部变形，变形的程度决定于物体的质量。太阳在我们太阳系中，质量远大于其他任何行星，所以它使时空畸变得最厉害。行星可以用大小不等的球来代表，这些球在橡胶垫上围绕太阳滚动，球滚动的路径也就是行星的轨道，它们都位于太阳附近的深“阱”之中。从树上掉下来的苹果，不是被一个力拉向地球，而只不过是滚进地球所造成的局部时空的“阱”里面罢了。

宇宙的历史 合成图片

物理学定律规定一个初始状态如何随时间演化。例如，如果我们向空中抛出一块石头，引力定律将准备规定石头后续的运动。宇宙学企图利用这些物理定律来描绘整个宇宙的变化。如果宇宙的历史像一张马鞍面那样向无穷远伸展，人们就遇到了在无穷远处如何指定边界条件的问题。而如果宇宙在虚时间里的所有历史是像地球表面那样的闭合面，人们就根本没有指定边界的条件。

物体在弯曲时空中的运动规律，一般不同于平直时空中的规律。一个不受引力的物体，在三维空间中是做匀速直线运动的。而在有引力的情况下，新的规律则是物体沿“测地线”运动。测地线基本上就是在弯曲的或平直的时空中连接任意两点的最短的路线，只要这两点充分接近。在速度非常小、物质密度也非常低的情况下，测地线运动就退化成牛顿描述的运动。显然，广义相对论的这种“退化”一定会发生，因为牛顿物理学所作的预言，在它所适用的范围内是十分成功的，这我们在上一章中已经讲到过。然而，对于牛顿无法回答的一些问题，爱因斯坦却可以用测地线运动来解释。

1. 水星近日点的旋进规律。也就是有关水星——它是离太阳最近的行星——轨道的一个很小的细节。虽然爱因斯坦在推导相对论的时候，几乎没有考虑到这个问题，但它却成了对他的新理论的一次辉煌验证。按照牛顿力学，一个单独绕太阳运转的行星，它的轨道应当是一个精确的闭合椭圆，并且轨道的近日点也是固定的（近日点是行星轨道上离太阳最近的一点）。

加速度 合成图片

物体的加速度越大，则加在上面的力就越大。但是，加速度越小则被加速的物体的质量就越大。小汽车可提供一个熟知的例子，发动机的功率越大，则加速度越大，但是，对同样的发动机，小汽车越重，加速度就越小。

但是，水星轨道的问题是，它的近日点不是固定的。其他行星的引力，加在一起使水星轨道受到一个很小的附加影响，它使得轨道产生进动，亦即近日点随着时间逐渐“前移”，在300万年内移动一周。但是，除了所有已知的引力影响外，还有一个完全解释不了的附加进动——称为“异常进动”，根据天文学家们的观测，它仅仅是每世纪43″。在爱因斯坦以前，这个异常进动被认为是由一颗未被发现的行星引起的。但是爱因斯坦用广义相对论产生的时空曲率，算出了这个附加的进动值，正好是每世纪43″。近来，其他一些行星的这种近日点“异常”进动也被测量出了。在观测误差范围之内，它们的值也同样与广义相对论算出的值相吻合。

星 系 合成图片

人们探索宇宙后，才知道太阳系是多么微不足道。宇宙中的各种星系团与超星系团，形成了巨大的宇宙。

1. 光线在引力场中发生弯曲。这是爱因斯坦在完成广义相对论之前就曾预期的一个效应。从狭义相对论以及它的基本原理之一——光速对所有观测者都相同，不论他们的速度如何——可以得出一个推论，这就是能量和质量等效。这样一来，一束光的能量就对应着一定的质量，也就可以受到其他物质的引力作用。因此，在一个大质量天体的附近，例如在一颗恒星的附近，光线就会发生弯曲。以前，爱因斯坦也计算过遥远的星光在太阳附近发生的偏折角度，但当时他根据的是某种狭义相对论和广义相对论的混合方法，其中时空仍然假设是平直的。后来，他把这重新计算了一遍，但是应用了时空的曲率。新的结果正好是原来结果的两倍。也就是说，是爱因斯坦让光线必须沿着弯曲时空中的测地线传播。

1919爱丁顿拍到的日食场景（左）

1919年，爱丁顿观测到太阳在日全食状态下的图像，以此证实了广义相对论对于时空弯曲的预测。也使得爱因斯坦的观点受到举世瞩目，当时的《泰晤士报》当日的头条新闻题目是《科学革命：宇宙新理论！牛顿学说被推翻！》。

双脉冲星（右）

“与1974年发现的名为PSR1913+16脉冲双星相比，这一双脉冲星系统的轨道周期更短，引力辐射更强，是一个更理想的引力波实验室。双星系统中的两颗星都是脉冲星，又成为研究两个脉冲星之间相互影响的实验室。这都意味着这次发现的双脉冲星系统具有新的特点和更高的研究价值。”——北京大学天文系教授吴鑫基。这组旋转天体的深入研究将能为爱因斯坦的引力波理论提供最为严格的实验。

英国的爱丁顿帮助验证了爱因斯坦理论的第二个预言。当爱丁顿从中立国荷兰的德西特那里第一次听到爱因斯坦在柏林的工作后，他不顾当时英国和德国已经处于交战状态而前往德国，冒着生命危险去验证这一理论。他是教友派的信徒，这个教派从道义上反对战争，因而他被准许免服兵役，条件是继续从事他的科学研究，特别是准备监测一次即将到来的日食。1919年的这次日食，能够观测到星光从太阳近旁经过，因而可以测定光线是否发生了弯曲。在几内亚湾的普林西比岛，爱丁顿做了关于这次日食的最好记录——他验证了爱因斯坦的第二个预言。

从普林西比回来，爱丁顿在皇家天文学会的一次聚餐会上，模仿奥玛·哈央姆的诗体，即席朗诵道：

噢，把我们的测量留给智者去评判，

但至少有一件事已经搞清——光是有重量的；

尽管其余的事还在争论，有一件事已毫无疑问——

光线靠近太阳时，并不是直线前进！

拖引黑洞 合成图片

黑洞的质量和一座山差不多，却被压缩成万亿分之一英寸，亦即比一个原子核的尺度还小。如果在地球表面存在一个黑洞，我们无法阻止它透过地面落到地球的中心，它会穿过地球而来回振动，直到最后停在地球的中心。所以仅有的放置黑洞的地方是围绕地球转动的轨道，而仅有的将其放到轨道的办法是用一个大质量的吸引力在前面拖引。

晚年，爱丁顿把这次对于广义相对论的验证，看做是他一生中最伟大的时期。他的这个观测，也使爱因斯坦一下子在国际上赢得了声望。

近些年来的对于广义相对论的验证，是对“双脉冲星”进行的研究。双脉冲星被认为是靠得非常近的一对老年星的核，它们都已坍缩得很小。叫它们脉冲星，是因为它们发射出很规则的射电波脉冲。这一对星互相围绕对方做极高速的转动，这样就必须用广义相对论来描述，而不是牛顿力学。它们的“近星点”的进动，要比水星和其他行星大得多。时空曲率的扰动，也已经用爱因斯坦的方程计算出来，由此可以预言，会有引力辐射从这对星发出，因而它们的轨道就会越来越小。此外，遥远的“类星体”——宇宙中最亮的天体——发射出的电磁辐射，有时候会受到一种引力透镜的作用，这种作用是位于类星体和我们之间的某些星系引起的：每一个星系的引力场就像一种特殊的透镜，结果在我们地球上的望远镜看来，就产生了多重像，也就是原来的一个类星体变成为好几个。

结 埃舍尔 铅笔和有色粉笔画 1965年

埃舍尔的数学兴趣在这件作品中表现得尤为突出，除了数学家，普通人很难对这个结构产生兴趣，它被称为“三叶纽结”，是最简单的纽结形式。所有的纽结都是针对三维空间曲线，在二维平面上不可能打成一个真正的纽结，埃舍尔的做法是赋予这条曲线复杂的外形，然后在平面上用严格的透视法再现这个结构。

总的说来，广义相对论要求从根本上更新时间和空间的概念，这个要求不是出于人为的意图，而是出于实际需要。这种更新了的时间和空间的概念，在数学上被具体化为单一的时空结构。这一时空结构决定于物质的分布，引力本身也不再明显地存在。无论如何，这是一种处理引力问题的方法。为了使读者不至于对此感到过于枯燥，我们想在此引用相对论专家威廉斯教授1924年写的一首诗，它是模仿路易斯·卡洛斯《海象和木匠》的诗体而作的，诗的题目叫做《爱因斯坦和爱丁顿》：

“是时候了”，爱丁顿说道，

“我们有很多事情要谈及，

像立方体、钟表和米尺，

以及为什么摆锤会摆动，

空间在多大程度上偏离沿直，

还有，时间是不是具有双翅。”

“你说时间变扭了，

甚至光线也被弯曲；

我想给我的印象是，

如果它是你的原意：

邮递员今天送来的信件，

明天它就要被寄到邮局。”

“这最短的线，”爱因斯坦答道，

“不再是那条直直的线，

它绕着自己弯来拐去，

好像一个‘8’字。

而且，如果你走得太快，

你将会到达得太迟。”

“复活节是在圣诞节期间，

非常遥远就是近了，

二加二也大于四，

还有，过了那里就是这里。”

“你也许是对的，”爱丁顿说，

“但是它看来的确有些稀奇。”

星 系 合成图片

持宇宙不变论的英国天文学家假设有新的星系的产生，使星系间的距离不改变。如果他不这样假设，那么在一个膨胀中的宇宙，密度是不可能恒定的。

1　离心力：以匀速转动系统为参考系时附加于系统内物体的惯性力，又称惯性离心力。设此旋转系统的角速度为ω，静止在这系统内的物体，如其质量为m，离转轴的距离为r，则从惯性系来看，客观存在一个其值为mrω2的向心力迫使该物体转动。而从随之转动的非惯性系来看，该物体保持静止，要附加一个和向心力大小相等、方向相反的力，以维持表观的平衡。此力即惯性离心力。如果物体在此非惯性系内以v运动，则还受到和v、ω有关的另一种惯性力支配，即科里奥利力。

2　冲量：力的时间累积效应的量度，是矢量。如果物体所受的力是大小和方向都不变的恒力F，冲量I就是F和作用时间t的乘积。如果F的大小、方向是变动的，冲量I应用矢量积分运算。冲量通常用来求短暂过程（如撞击）中物体间的作用力，即由物体的动量增量和作用的时间来估算其作用力。此力又称冲力。冲量的单位和动量相同，在国际单位制中为千克·米／秒。

3　位移：位移表示物体运动的物理量。它的大小等于起点到终点的距离，方向由起点指向终点。位移是矢量。