1.2 坐标系

微波背景谱的测量 示意图

宇宙微波背景谱，是典型的热体辐射谱。为了使辐射处于热平衡状态，物质必须将它多次散射。

根据对距离的物理解释，我们能够用测量3法确立一固体上两点间的距离。为达到这个目的，我们用“距离”（杆S）作为标准量度。如果A和B是一固体上的两点，按照几何学的规则，我们可以作一直线连接两点，然后以A为起点，直到到达B点为止，其间多次反复记取从A点到B点间的测量距离S。所需记取的S的次数就是AB距离的数值量度，这是一切长度测量的基础。

望远镜 合成图片

广义上的望远镜不仅仅包括工作在可见光波段的光学望远镜，还包括射电、红外、紫外、x射线，甚至γ线望远镜。从1609年，伽利略制造出第一架望远镜，至今已有近400年的历史，其间望远镜的发展经历了重大的飞跃。

不仅在科学方面，对于日常生活来说，描述一切事件发生的地点或任一物体在空间中的位置的基础，都是参考在一固定物体上确定该事件或该物体的相重合点为根据的。比如泰晤士广场在空间中的位置，地球是能够参照的固体，“泰晤士广场”是地球上已明确规定的一点，现在所考虑的则是在空间上与“泰晤士广场”相重合的点。

光传播研究模型 摄影

麦克斯韦一生都在寻求解释光传播的力学原理，尤其是借助齿轮与传动系统等模型。这个模型是他的一位学生惠斯顿建造的。

这种标记位置的原始方法有两个限制：其一，它只适用于固体表面上的位置；其二，当固体表面不存在能够相互区分的点时，该方法便不适用。但在不改变位置标志的本质时，这两种限制是能摆脱的。例如有一朵白云飘浮在时代广场上空，我们可以在广场上垂直竖起一根长竿直抵白云，以此来确定白云相对于地球表面的位置，用标准量杆测量长竿的长度，结合长竿的位置标记，就能获得这朵白云的完整的位置标记。通过上述例子，我们能够看出关于位置的概念是如何改进发展的。

（a） 我们设想将确定位置所参照的固体加以补充，补充后的固体延伸到我们需要确定其位置的物体。

（b） 在确定物体的位置时，我们使用量杆量出来的长竿长度，而非选定的参考点。

（c） 即使未曾把直抵云端的长竿竖立起来，根据光学方法对云朵进行观测及考虑到光的传播特性，我们同样可以讲出白云的高度，并且能够确定升上云端的长竿的长度。

通过以上论述，我们看到了有利的一面，即如何在描述位置时，依靠数值量度，而不是固定参考物上存在的标定的位置，那就会比较方便。在物理测量中应用笛卡儿坐标系能达到此目的。

这个坐标系由三个与一固体牢固连接起来的相互垂直的平面组成。在一个坐标系中，任何事件发生的地点（主要部分）由事件发生点向该三个平面所作垂线的长度或坐标（x，y，z）来确定，这三条垂线的长度可以按几何学确立的规则和方法，用刚性测量杆经过一系列操作来确定。

从习惯来看，构成坐标系的刚性平面一般是不大用的；此外，坐标的构成不是由刚杆结构确定，而是用间接法确定的。如果物理学和天文学要保持其清楚明确的结果，就必须以上述考虑来寻求位置标示的物理意义。

笛卡儿 油画

笛卡儿，法国数学家、科学家和哲学家。他是西方近代资产阶级哲学奠基人之一。他的哲学与数学思想对历史的影响是深远的。笛卡儿不仅在哲学领域里开辟了一条新路，同时笛卡儿又是一个勇于探索的科学家，在物理学、生理学等领域都有值得称道的创见，特别是数学上他创立了解析几何，从而打开了近代数学的大门，在科学史上具有划时代的意义。

我们因而得到下面的结果：在空间中，对事件位置的每一种描述都必须围绕所参照的刚体4展开；所得出的关系以假定欧几里得几何学的定理适用于“距离”为依据；而一刚体上的两个标记“距离”是物理学上的习惯表示。

附〉〉〉坐标系的历史

坐标系的定义，有数学与物理学两种。

数学上的定义为：坐标系是使某个数学对象的集合中的元素对应于数量的结构。它是用以确定数或数组与基本几何对象（常常是点）之间对应关系的参考系。最早用于数与形的结合，后来发展为一种数学结构。

物理学上的定义为：为了确定描述物体（或物体系）的位置和运动，根据问题需要而任意选择的独立变数，其组合结构称为“坐标系”。

公元前４世纪，我国战国时代天文学家石申曾利用坐标方法绘制出恒星方位表。

古希腊数学家阿波罗尼奥斯著的《平面轨迹》中，曾用类似于现在直角坐标系的轴线来研究圆锥曲线。

17世纪，法国数学家费马和笛卡儿建立了坐标几何学。

费马用一种没有负数的倾斜坐标描绘曲线，由方程中的两个未知量得出轨迹图形。他还指出联系两个未知量的方程，如果是一次方程就代表直线轨迹，如果是二次方程则代表圆锥曲线。

上帝的想法 合成图片

1915年，经过一连串运算，爱因斯坦发表了他的万有引力论，称为广义相对论。爱因斯坦的相对论取代了牛顿的引力理论，它复杂的数学公式更成为有史以来，人类最完美的智慧结晶之一。爱因斯坦将牛顿的宇宙静止论转化成充满动感的宇宙论，空间与时间可以延长，也可以缩短。此外，引力可使空间弯曲。爱因斯坦从现代物理学的角度解释宇宙，他认为月球的椭圆轨道是受地球引力的影响后，在呈弯曲的空间中，唯一可行的轨道。相对论是当今最能解释宇宙的理论，它揭示了上帝的想法。

笛卡儿则从建立一种使算术、代数和几何统一起来的普遍数学的愿望出发，指出平面上的点与实数的对应关系，并考虑二元方程F（x，y）=０，当x变化时，y值也跟着改变，x，y的不同数值构成平面上的一条曲线。实际上他只建立了坐标横轴（x轴），到1750年瑞士数学家克莱姆才正式引入坐标纵轴（y轴）。

于是几何的问题便成为代数的问题。

这样的发展不但使几何问题的处理容易些，更有其重大的意义：

首先，解析之后，使可研究的图形的范围扩大，除了直线的一次方程式，或者圆周的二次方程式，我们还可以取任意的方程式F（x，y）=0，讨论它的所有点坐标（x，y）适合这个方程式的轨迹。因此许多用几何的方法很难处理的曲线，在解析化之后，都可从表示它的方程式中得到有关的几何性质。

其次，研究的图形不再局限在二维的平面上，可推广至高维的空间。世界上的事情，如果只用二维的平面，往往不足以表示，需要取更多的坐标。例如我们所在的空间是三维，有x、y、z三个度量。假使要用几何来表示物理的问题，那么三个度量之外，尚须加一个时间t，所以物理的空间就变成了四维的空间。不但如此，假使有一点在三维空间运动，那么除了需要（x，y，z）来表示点的位置，还需要用这三坐标对时间的微分来表示它的速率，这就成了六维空间。所以种种情形都指向我们有必要考虑更高维的空间来表示自然的现象。

解析几何把几何研究的范围大大地扩大了，而科学发展的基本现象，就是要扩大研究的范围，了解更多的情形。笛卡儿的解析几何，便达到了这个目的，使几何学迈入一个新的阶段。

最后的晚餐　达利 油画 1955年

20世纪30年代，达利发现了特别适合于他的超现实主义的新几何，虽然他的超现实主义的理论在很大程度上基于弗洛伊德的潜意识分析，但是高维空间对他的理论也有启发，他把时空第四维空间与潜意识的更高维结合起来。在这里，“最后的晚餐”发生在象征整个宇宙的十二面体中。

莱布尼茨于1692年创用了“坐标”一词，他还于1694年使用了“纵坐标”。“横坐标”则由德国数学家沃尔夫等人于18世纪引入。

〉〉〉“坐标”的现代意义

《现代汉语词典》里，“坐标”的解释是：“能够确定一个点在空间的位置的一个或一组数，叫做这个点的坐标。通常由这个点到垂直相交的若干条固定的直线的距离来表示。这些直线叫做坐标轴。坐标轴的数目在平面里为2，在空间里为3。”

《辞海》（1999年版）说，“坐标”是“确定平面上或空间中一点位置的一组有序数”。同时，它对坐标的制作方法、特点作了具体说明，并简要介绍了坐标的种类：除了直角坐标，常用的还有极坐标、球面坐标、柱坐标等。

时间是最好的催化剂。现在，“坐标”一词也逐渐走出数学、物理学的书斋和实验室，走进了人们日常生活的方方面面，同时也就衍生出了很多现代“坐标”概念：

为了展示某城市或乡村的建筑、文化的水准和品位，于是就有了城市坐标、乡村坐标等。

为了宣扬、提倡某种精神或者道德风尚，产生了人物坐标、人生坐标、心灵坐标、灵魂坐标等。

为了表明某种产品、某种风格的流行、时尚程度，就有了时尚坐标、魅力坐标等。

为了提倡某种生活的标准或方向，于是就有了健康坐标、幸运坐标、生活坐标等。

当然，不管怎么发展，现代“坐标”仍然没有改变其原始的“标准、尺度、方向”之义。