2.7 欧几里得和非欧几里得连续区域

一张表面是大理石的巨大桌面在我面前展开，我可以在这个桌面从一点到达任何其他一点，即连续从一点指向“邻近的”另一点，并可反复这个过程若干（任意）次。换句话说，点对点的运动无须从一点“跳跃”到另一点。我想读者一定能清楚明白所说的“邻近的”和“跳跃”的意思（如果他不过于纠缠字面意思的话）。我们明确地把这一明显的性质用来描述桌面的一个连续区。

水中的粒子 合成图片

我们利用显微镜，可以看到悬浮在水中的尘埃粒子以非常不规则的随机的方式运动。爱因斯坦利用这一“布朗运动”来显示，水是原子构成的。

我们既然已经设想了许多长度相等的小棍，它们的长度同表面为大理石板的桌面相比是相当短的。这里的长度相等，指的是把其中的一个小棍与另一个小棍竖直起来，它们的上下两端都能重合。其次，我们取四根小棍在桌面上构成一个对角线长度相等的四边形（正方形），为了保证对角线相等，另外的一根小棍将成为我们的测量棍。然后我们把相似的另外一些正方形加到这个正方形上，每一个正方形都有一边与第一个正方形共有。对于这些正方形我们都采取相同的做法，直到最后整个桌面都铺满了为止。在这一排列中，每一正方形的每一边都隶属于两个正方形，每一隅角都隶属于四个正方形。

如果尽力避免在困惑中迷失方向而把这项工作做好的话，我们会发现当三个正方形相会于一隅角时，第四个正方形的两边就已经给出。因此，这个正方形另两边的排列位置也就完全确定，但是这时我已经不能安排合适的角度使这个四边形的两根对角线相等。如果这两根对角线自己趋向相等，那么我就只能怀着感激的心情将这一切归咎于大理石板和小棍的特别恩赐而惊奇不已。我们必须经历许多这样的惊奇，如果上述解释是正确的话。

如果每件事都进行得真实而平稳，那么大理石板上的诸点对于小棍而言构成一个欧几里得连续区域，这里的小棍被习惯性地当做“距离”（线间隔）使用。选取正方形的一个隅角作为“原点”，我能将任一正方形的任意隅角相对于原点的位置用两个数来表示。我仅仅需要声明的是，我从原点出发，继续向“右”走和向“上”走，经过了多少根杆子才能到达所考虑的正方形的隅角呢？这两个数就是“笛卡儿坐标系”的“笛卡儿坐标”，由隅角相对于排列的小杆而确定。

如果改变一下这个抽象的实验，我们会认识到一定会出现实验不能成功的案例。我们假定这些杆子是“膨胀”的，膨胀的量值与温度升高的量值成正比。我们使大理石板的中心部分变热，但外围的热量不变，在此情况下，我们仍然能使两根小棍在桌面上的每一位置相重合。但在加热期间我们的正方形必然会受到扰乱，因为桌面中心的小棍膨胀了，而外围部分的小棍则不膨胀。

硅晶体 合成图片

近些年来，将成品转化为硅的混合制品是目前提取纯硅最理想的做法，比如用三氯硅烷，通过各类反应，将其重新转化为硅。做法将从起初经过初步提炼的硅中，提炼出棒状的纯净的硅晶体。它经过三氯硅烷蒸气在高温中的反应，将更多的纯净的硅结留在了棒上，而去除了大量的杂质。

我们将小棍定义为单位长度。这块大理石板就不再是一个欧几里得连续区，而且我们的小棍也不可能被借用来定义笛卡儿坐标，因为上面的作图法不能够完成。但是由于有一些其他的东西并不像受桌子温度影响的小棍般（或许丝毫不受影响），因而我们有可能对下述观点持自然的支持态度，即大理石板仍是一个“欧几里得连续区”，所以我们要满意地实现欧几里得连续区，就必须对长度的量度或比较做一个更为巧妙的约定。

勒贝格 摄影

勒贝格的积分理论可以说是20世纪数学开门红的重大成果之一，但勒贝格从1902年论文发表起差不多10年内在巴黎都找不到工作，直到1910年才获准到巴黎大学任职，1921年成为法兰西学院教授。

密立根与爱因斯坦（左） 摄影

密立根是美国著名的物理学家，他测量出了电子电荷值。图中右为密立根。

毕达哥拉斯定理原稿（右）

毕达哥拉斯学派宣扬上帝用数学来统治宇宙。毕达哥拉斯本人没留下什么著作，直到公元前140年，希腊学者阿波罗多罗斯用诗句写了一部《希腊编年史》，其中提到“毕达哥拉斯为了庆祝他发明的那个著名定理，宰牛作为祭祀的牺牲”。后来，很多人都倾向于相信那就是勾股定理。图为毕达哥拉斯定理原稿。

但是如果把各种杆子（例如各种材料所制的）放在冷热不均的大理石板上时，它们对温度的反应都是相同的。如果除了杆子之外，我们没有其他的方法来探测温度，于是我们最好的办法就是：只要能够使我们的一根杆子的两端与石板上的两点的距离相重合，我们就将该两点之间的距离定义为1。

因为如果不如此，我们将在对距离下定义上犯任意独断的错误。所以，我们只有舍弃笛卡儿坐标，而以不采取欧几里得几何学对刚体的有效性这一方法来代之。读者们将会看到，这里所描述的情形符合广义相对性公设（本章第六节）。

附〉〉〉欧几里得几何学

欧几里得几何学简称欧氏几何。它是相对非欧几里得几何学而言，以欧几里得平行公理为基础的几何学。由古希腊数学家欧几里得创始。在此之前，古希腊学者泰勒斯已开始了命题的证明；毕达哥拉斯学派已发现了勾股定理、不可通约量，并知道了五种正多面体的存在；雅典的智人学派提出三等分任意角、倍立方和化圆为方几何作图三大问题；安提丰和欧多克索斯提出并改进了穷竭法；埃利亚学派的芝诺提出有关无穷的四个悖论；原子论学派的德谟克利特用原子法得出锥体的体积公式等。加之柏拉图学派提倡智力训练和逻辑思维的培养，欧多克索斯用公理法创立比例论，亚里士多德形式逻辑的奠基，使几何公理化水到渠成。约公元前300年，亚历山大学派的创始人欧几里得按照逻辑系统把几何命题整理起来，用公理法建立起演绎体系，完成巨著《几何原本》，使几何成为一门独立的、演绎的科学。

《几何原本》是欧几里得几何学的奠基作，几乎包含了现在中学所学的平面几何、立体几何的全部内容。它是由定义、公设、公理、命题组成的演绎推理系统。每一个命题（相当于现在的定理）都是以公设、公理或它前面的命题作为证明的依据，按逻辑相关性排列而成。欧几里得的这种逻辑地建立几何的尝试，成为现代公理法的源流，在历史上受到很高评价。

〉〉〉非欧几里得几何学

非欧几里得几何学是不同于欧几里得几何学的几何体系，简称“非欧几何”，一般是指罗巴切夫斯基几何（双曲几何）和黎曼的椭圆几何。它们与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公理。

欧几里得 素描

欧几里得的重大功绩是编写了《几何原本》。从来没有一本教科书，像《几何原本》这样长期占据着几何学教科书的头把交椅。从1482年出现活字印刷以来，《几何原本》竟然印刷了1000版以上。而在此之前，它的手抄本统御几何学达1800年之久。欧几里得的影响是如此深远，以至于欧几里得和几何学变成了同义语。

非欧几何的历史渊源及发展。它的起源可追溯到人们对欧几里得平行公理的怀疑。从古希腊时代到公元1800年间，许多数学家都尝试根据欧几里得的其他公理去证明欧几里得平行公理，结果都失败而归。19世纪，德国数学家C.F.高斯、俄国数学家H.罗巴切夫斯基和匈牙利数学家J.波尔约等人各自独立地认识到这种证明是不可能的。也就是说，平行公理是独立于其他公理的，并且可以用不同的“平行公理”替代欧几里得平行公理而建立非欧几何学。高斯关于非欧几何的信件和笔记在他生前一直没有公开发表，只是在1855年他去世后出版时才引起人们的注意。罗巴切夫斯基和波尔约分别在1830年前后发表了他们的关于非欧几何的理论。在这种新的非欧几何中，替代欧几里得平行公理的是罗巴切夫斯基平行公理：在一平面上，过已知直线外一点至少有两条直线与该直线共面而不相交。由此可以演绎出一系列全新的无矛盾的结论。在这种几何里，三角形内角和小于两直角。当时罗巴切夫斯基称这种几何学为“虚几何学”，后人又称为“罗巴切夫斯基几何学”，简称“罗氏几何”，也称“双曲几何”。

同心的外壳 版画

德国数学家D.希尔伯特于1899年发表了著名的《几何基础》一书，严密地建立了欧几里得几何的公理体系。它由五组公理组成，即结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理及连续公理（见欧几里得几何学）。由结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理四组公理所建立的体系称为“绝对几何公理体系”。绝对几何公理体系加上罗氏平行公理，就构成了罗巴切夫斯基几何的公理系统。

黑体辐射 示意图

19世纪，科学家们普遍认为古典力学的理论已趋于完备，然而对于黑体辐射存在现象，却无法用古典理论予以解释，对于黑体辐射所衍生的问题，在科学家的努力下渐渐揭开其神秘面纱，在揭开其神秘面纱的同时也引领我们进入了另一全新的领域——量子力学。

绝对几何是欧氏几何与罗氏几何的公共部分，也就是说，绝对几何的全部公理和定理在两种几何里都成立。例如命题“任意一个三角形内角和不能大于两个直角”是绝对几何里的定理。

罗氏平行公理。它是欧氏平行公理（通过直线外一点只有一直线与已知直线共面不交）的否定命题，即“避过直线外的每一点至少有两条直线与已知直线共面不交”。