2.8 高斯坐标

高斯坐标分析问题的方法与几何方法结合起来可由下述途径达成。设想我们在桌面上画一任意曲线系U，并且每一根曲线用一个数来标明。图4中的曲线有U=1、U=2和U=3，假如在U=1和U=2之间有无限多的曲线而且这些曲线对应于1和2之间的实数，于是我们得到一个“无限稠密”的、布满整个桌面的U曲线系。

图4

这些U曲线系是彼此不相交的，桌面上的每一点都必须有一根而且仅有一根曲线通过，这样，桌面上的每一点都有一个确定了的U值。以同样的方式画一个所满足的条件与U曲线相同的V曲线系于桌面，V曲线标有的数字以及其任意形状与U曲线一致。于是，桌面上除了U值外，还有一个V值，这便是我们称之为的桌面的坐标（高斯坐标）。例如，图4中的P点就有U=3，V=1这一高斯坐标，桌面上相邻的P和P′就有其各自对应的坐标：

P:U，V

P′:U+Du，V+ Dv

高斯及其论文

高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，他和阿基米得、牛顿并列，同享盛名。高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。

这里的Du和Dv是标记很小的数。依此类推，我们可以好似把一根小棍当做量杆般，用DS这一很小的数表示P和P′的线间隔距离，根据高斯的记述，我们有：

DS2=G11DU2+2G12UDV=G22DV2

这里的G11、G12、G22，取决于U和V的量，是一种完全确定的方式。这三个量，G11、G12、G22是决定量杆相对于U和V的曲线的行为，亦是决定量杆相对于桌面的行为。我们所考虑的桌面上的诸点相对于量杆构成了一个欧几里得连续区。只有在产生这一连续区的情况下，我们画出或用数学公式简单地将U曲线和V曲线表示出才有成功的可能。现在，我们用数字表述如下：

DS2=DU2+DV2

这个公式说明：在所表述出来的条件下，U曲线和V曲线是欧几里得几何学里相互垂直的直线，而且高斯坐标亦成了笛卡儿坐标。很明显，高斯坐标在这里表现出的是彼此相差极微的数值与“空间中”相邻的点的一种连续统一的关系。

木星的卫星（左） 太空摄影

伽利略是伟大的意大利物理学家和天文学家，是现代科学的奠基者，近代物理学之父。他发明了天文望远镜，发展了天文学，第一次将实验方法和数学方法全面引入科学研究。图为伽利略用望远镜所观察到的木星的卫星。

DNA双螺旋分子（右） 合成图片

双螺旋的发现标志着抽象的拓扑学与生物学相结合。采用把DNA的纽结放开再把它们复制出来的办法去了解DNA的结构，这就使代数拓扑学中的纽结理论有了用武之地。

这些对二维连续区的论述迄今为止是成立的，但高斯的方法也可运用于更多的连续区，如三维、四维或多维等。对一个四维连续区，我们可以这样来表示：我们取任意四个数值x1、x2、x3、x4，它们如果与四维连续区中的每一点都是连续统一的，就被称为“坐标”，相邻的点与相邻的坐标值相对应。而且从物理的观点来看这两个相邻点的距离是可以测量的和被明确规定了的，那么下式成立：

DS2=G11Dx12+2G12Dx1Dx2…G44Dx42

其中，作为一个等量的值，G11随连续区中位置的变化而变化，要使坐标x1…x4与这个连续区的点有连续统一的关系，必须得使该坐标是一个欧几里得连续区，如果关系式成立，我们便有：

DS2=Dx12+Dx22+Dx32+Dx42

这一情况表明，一些与三维测量相似的关系同样适用于四维连续区。

原子示意图

每种元素的原子均互不相同，也就是每一元素各有独特的原子结构。根据古典的玻耳原子模型，原子为行星状的结构，原子中心的原子核，由外围运转的电子绕着一定的轨域所包围。

但在用高斯方法表述DS2时，其主要问题是必须使我们所考虑的连续区中各个极其微小的区域都被看做是欧几里得连续区，这一并不经常适用的方法才有可能成立。在考虑大理石桌面和局部温度受热不均匀而产生变化这一点上，这种方法是成立的。温度被桌面的一小部分面积视为恒量，因而小杆的几何行为基本能够符合欧几里得几何学的法则。只有当用正方形作图法作图，其作图的面积占桌面极大部分时，它的缺陷才会明显地显露出来。对此，我们的总结是：高斯对一般连续区的表述，发明出了一种数学的方法，在其中他定下了“大小关系”（相邻点的距离）的定义。对于一个n维的连续区中的每一点，高斯皆以n个数字标出（高斯坐标），每个点所标的数字是独一无二且相邻点之间亦以一个彼此之间无穷小的数（高斯坐标）来标出。高斯坐标既是笛卡儿坐标系的推广，也适用于非欧几里得连续区。当然，这一适用是有限制的，也只有在相对于既定的“大小”或“距离”的定义中，以及所考虑的连续区中各个区域部分越小，表现得越像一个真正的欧几里得系统时才有用。

正在形成的恒星 合成图片

天文学界对小、中质量恒星的形成规律已形成共识：它是通过最初的引力塌缩与后随的质量吸积形成的。但对大质量恒星的形成规律却不清楚。对此，天文学界主要有两种猜测：一种认为大质量星是通过小质量星的并合而形成；另一种等同于小恒星的形成，认为是通过最初的引力塌缩与后随的质量吸积而形成。后一种理论必须要有“拱星盘”的存在，而并合理论则认为不存在这样的系统。因此，通过天文观测来确认大质量星周围的盘系统成为判别这两种理论正确与否的关键因素。而此前这两种理论都缺乏相关的观测证据，原因是大质量恒星非常稀少，且通常距离太阳系很远。

附〉〉〉高斯：学讲话前就学会了计算

高斯的父亲是泥瓦厂的工头，每星期六他总是要发薪水给工人。高斯3岁那年夏日的一天，高斯的父亲正在给工人发薪水，小高斯站起来说：“爸爸，你弄错了。”然后他说了另外一个数目。重算的结果证明小高斯是对的，大人被惊得目瞪口呆。

韦伯纪念碑 雕塑

韦伯在电磁学上的贡献是多方面的。为了进行研究，他发明了许多电磁仪器。1841年发明了既可测量地磁强度，又可测量电流强度的绝对电磁学单位的双线电流表；1846年发明了既可用来确定电流强度的电动力学单位，又可用来测量交流电功率的电功率表；1853年发明了测量地磁强度垂直分量的地磁感应器。为表彰其在物理学方面的巨大贡献，人们建立了纪念碑表示对他的崇敬。

高斯说，他在学讲话之前就已经学会了计算。

高斯10岁时做的那道题——求1+2+3+…+99+100之和，充分展现了高斯的数学天分。

卡尔·弗里德里希·高斯（1777—1855年），德国数学家、物理学家和天文学家。哥廷根大学毕业，赫尔姆施泰特大学哲学博士。长期任哥廷根大学教授，哥廷根天文台台长。早期研究数论，成果收入他所著的《算术研究》中。对超几何级数、复变函数论、统计数学、椭圆函数论有重大贡献。他的曲面论是近代微积分几何的开端。他建立了最小二乘法，并沿着拉普拉斯的思想方法，继续发展了势论。对物理、天文学、测地学等也有很大贡献。他奠定了在平衡状态下液体的理论基础；研究地磁强度，与德国物理学家韦伯（1804—1891年）共同建立了电磁学中的高斯单位制；用自己的行星轨道计算法和最小二乘法算出意大利天文学家皮亚齐（1746—1826年）发现的谷神星的轨道；晚年写成了《天体运动论》。曾独立发现“非欧几何学”，但未发表。此外，还有向量分析的高斯定理、代数基本定理的证明、正十七边形的作图、关于正态分布的密度曲线、质数定理的验算等研究成果。有《高斯全集》十一卷。

数学中的单连通 示意图

单连通具有一种拓扑性质。如图，在曲线上任意画一个闭圈，如果能在不离开曲面的情况下，将这个闭圈缩成一点，就称该曲面是单连通的。二维球面是单连通曲面，环面则不是。

〉〉〉极坐标系

极坐标系是由一个极点和一个极轴构成，极轴的方向为水平向右。平面上任何一点P都可以由该点到极点的连线长度P（>0）和连线与极轴的交角θ（极角，逆时针方向为正）所定义，即用一对坐标值（ρ，θ）来定义一个点。

恒星视差 示意图

17世纪光学仪器发明后，人们认识到星球并不是挂在天球上的，宇宙是向纵深延伸的。这时，测量恒星的距离就成为一个迫切的问题了。1838年，德国天文学家贝塞耳通过三角视差的方法测量出了天鹅座61的距离。这幅图就显示测量恒星距离的方法：测量恒星E的距离，是靠他的年视差π来推算的。年视差则靠从地球上观测该恒星相隔半年在天空穹顶移动的距离来测量。

〉〉〉平面极坐标系

在平面问题中只需用二维坐标系就够了。常用的二维坐标系中，有二维直角坐标系和平面极坐标系。利用平面极坐标系研究曲线运动，特别是圆周运动非常方便。

在所研究的平面内，取参考系上一固定点O作为极点, 过极点作一条固定射线Oa (或Ox)作为极轴，就构成了平面极坐标系。对于平面内任意一点P, 连线OP称为点P的极径, 用ρ表示；自Oa到OP所转过的角称为点P的极角，用θ表示。极径和极角，即（ρ,θ）是唯一确定点P位置的两个量，就称为点P的极坐标。

显然，平面极坐标与二维直角坐标之间的变换关系可以表示为

x=Pcosθy=Psinθ

P=θ= arctan

我们可以利用这种关系，在这两种坐标系之间互相转换。在平面极坐标系中，也定义了两个单位矢量，即径向单位矢量和横向单位矢量。径向单位矢量沿极径增大的方向，横向单位矢量与径向单位矢量垂直，沿极角增大的方向。

哥廷根数学研究所 摄影

哥廷根学派是在世界数学科学的发展中长期占主导地位的学派，该学派坚持数学的统一性。高斯开始了哥廷根数学学派的起始时代，他把现代数学提升到一个新的水平。黎曼、狄利克雷和雅可比继承了高斯的工作，在代数、几何、数论和分析领域作出了贡献，克莱因和希尔伯特使德国哥廷根数学学派进入了全盛时期，哥廷根大学因而也成为数学研究和教育的国际中心。

应该指出的是，径向单位矢量的方向和横向单位矢量的方向都是随所讨论的点的位置的不同而不同的。若质点的位置在随时间变化，则这两个单位矢量的方向也都在随时间变化。正因如此，我们说它们都是时间的函数，并分别表示为和。表面看起来，这使得运动学公式变得繁杂了，而实际上正是由于这一特点，使问题变得更加简明了。

几何与色彩 合成图片

几何形体与色彩的协调结合，构成了一幅美妙的画面。

〉〉〉高斯平面直角坐标系

利用高斯投影法建立的平面直角坐标系，称为高斯平面直角坐标系。在广大区域内确定点的平面位置，一般采用高斯平面直角坐标。

高斯投影法是将地球划分成若干带，然后将每带投影到平面上。投影带是从首子午线起，每隔经度6°划分一带，称为6°带，将整个地球划分成60个带。带号从首子午线起自西向东编，0°～6°为第1号带，6°～12°为第2号带……位于各带中央的子午线，称为中央子午线。

我们把地球看做圆球，并设想把投影面卷成圆柱面套在地球上，使圆柱的轴心通过圆球的中心，并与某6°带的中央子午线相切。将该6°带上的图形投影到圆柱面上。然后，将圆柱面沿过南、北极的母线剪开，并展开成平面，这个平面称为高斯投影平面。中央子午线和赤道的投影是两条互相垂直的直线。

规定：中央子午线的投影为高斯平面直角坐标系的纵轴x，向北为正；赤道的投影为高斯平面直角坐标系的横轴y，向东为正；两坐标轴的交点为坐标原点O。由此建立了高斯平面直角坐标系。

地面点的平面位置，可用高斯平面直角坐标x、y来表示。