2.10 广义相对论的空间—时间连续区不是欧几里得连续区

在本书的第一部分中，我们对狭义相对论简单而直接的物理性解释是基于空间—时间坐标之上的，这种空间—时间坐标在本章第九节是四维笛卡儿坐标，而这样做的基础建立于光速恒定定律。但是按照本章第四节，这个定律不适于广义相对论。根据广义相对论，我们得出，光速依赖于坐标的依据是必须存在有一个引力场。在本章第六节对一个具体例子进行讨论时，我们发现，正是由于引力场的存在，我们用来解释狭义相对论的坐标和时间的定义便失效了。

地球的公转 合成图片

地球（E）围绕着位于螺旋的银河系外部区域的太阳公转。螺旋臂上的恒星尘埃遮住了我们在银河系平面上的宇宙视野，但是我们在该平面的每一边的方向圆锥中的视野都非常清晰，而且能够画出遥远星系的位置。

由于考虑到这些结果，我们于是深信，依照广义相对论，不能把空间—时间连续区认为是一个欧几里得连续区。我们认为是一个二维连续区的，只有在大理石板上局部温度存在变化的这一例子。在那里，等长的杆不能构成一个笛卡儿坐标系，因此这里的系统（参考物体）也不可能用刚体和钟建立，使得量杆和钟在严格地做好安排的情况下直接指示位置和时间。这种困难的实质我们在本章第六节中曾经遇到过。

大卫·希尔伯特 摄影

大卫·希尔伯特（1862—1943年），德国数学家，是19 世纪和20世纪初最具影响力的数学家之一。希尔伯特1862年出生于哥尼斯堡，1943年在德国格丁根逝世。他以发明和发展了大量的思想观念（例如：不变量理论、公理化几何）而著名。

但是上述本章第八节和第九节的论述给我们指出了战胜困难之路。当我们提及四维空间—时间连续区时，高斯坐标将是该连续区的一个可任意利用的参照坐标。我们指派连续区的每一个点（事件）为四个数x1、x2、x3、x4（坐标），这些数没有丝毫的直接物理意义，它们仅有的目的是以编号的方式将连续区的各点明确而任意地标出，它们的排列方法不需要把x1、x2、x3当做“空间”坐标，一定要把x4作为“时间”坐标 。

大统一理论（左） 合成图片

现在，人们发现微观粒子之间仅存在四种相互作用力，它们是万有引力、电磁力、强相互作用力、弱相互作用力。宇宙间所有现象都可以用这四种作用力来解释。进一步研究四种作用力之间联系与统一，寻找能统一说明四种相互作用力的理论称为“大统一理论”。

探测器顶部（右） 合成图片

迄今，各种宇宙探测器已先后对月球、水星、金星、火星、木星、土星、天王星、海王星、冥王星、哈雷彗星，以及许多小行星和卫星进行了距离或实地考察，获得了丰硕的成果。像金星终日蒙上的一层密雾浓云及温暖世界，火星上的所谓人工运河和生命存在之谜，土星的奇异光环和卫星家族，最大的木星及其极光景观等，通过探测器的探访，大都陆续寻觅到了答案，而且不断获得新的发现，在人们面前展现出一幅崭新的太阳系面貌。

读者或许会认为，用这样一种方式来对世界进行描述显然是极其不严谨的。如果作为特定坐标的x1、x2、x3、x4本身无丝毫意义的话，那么将一个事件用这些坐标表示又有何意义？然而，更加小心的考虑说明，这种担忧是没有理由的。以我们正在考虑的一个正在做任意运动的质点为例，如果这个点只是霎那间存在，而没有一个持续期间，那么该点在空间—时间的描述，即由单独的x1、x2、x3、x4表示。因此对于永久的点，对其描述的数值必须有无穷多个，并且其坐标值必须紧密相连，以便能显示出连续性，与此质点相对应的便是四维连续区中的一条（单一空间的）线。同样地，任何这样的线，必然也与连续区中许多运动的点相对应。唯一需要注意的是，对这些点的具有物理存在意义的陈述，只局限于对质点间相遇时的描述。用数学的方法来阐述这些质点的相遇，就是两条代表了点的运动线各有特殊的坐标值x1、x2、x3、x4是公有的。经过充分考虑后，读者无疑会承认，这实际性的时间—空间性质是构成我们物理陈述中唯一的真实证据。

磁与电子相互作用 合成图片

电磁相互作用和万有引力相互作用是基于我们日常生活中经常接触到的相互作用，强相互作用和弱相互作用是为了解释原子核结构而引进的两种相互作用，其中弱相互作用的作用程小于10~17米，强相互作用的作用程小于10~15米，这是传统对原子核内部结构的看法。

当我们描述相对于参考物体的质点的运动时，其主要着眼点在于该点与参考物体上的各个特定点的相遇。我们同样也可以通过观测时钟的指针和指针盘上特定的点来确定相应的时间值。对这一道理稍加考虑，就会明白，这与用量杆进行空间测量时的情况完全一样。

下面的陈述一般都是有效的：每一个物理描述可分成本身的多个陈述，每一个陈述都与A、B两事件在空间—时间上相重合。高斯坐标对这一个陈述的表达是：两事件的四个坐标x1、x2、x3、x4是相符合的。因此高斯坐标对时空连续区的描述就不会有必须借助一个参考物体的描述方式的缺点，这种描述方式不必因所描述的连续区是否具有欧几里得的特性而有所限制。

附〉〉〉绝对时空与相对时空

宇宙究竟是无限的，还是有限的？这是一个古老而又新鲜的宇宙尺度之谜。

德国哲学家、星云起源说的假设者康德曾经提出著名的时空悖论，指出在关于宇宙到底是无限的还是有限的这个问题的理解上，人们必然存在着难以摆脱的矛盾。

牛顿曾设想：宇宙像一个既无限又空虚的大箱子，里面均匀地分布着无数恒星，它们靠着万有引力的作用而互相联系。他的观点引出了有名的“光度怪论”（即“奥伯斯佯谬”）。

为什么夜晚比白昼暗得多？如果宇宙果真无限广阔，而其中又果真均匀地分布着无限多个星体，那么在无数个“太阳”等距离照耀下的夜空，理应明亮得如同白昼。这样的推理合乎逻辑，但结论却与事实相悖。这是德国天文学奥伯斯于1826年向科学界提出的疑难问题。

1917年，爱因斯坦提出了有限宇宙的模型，他认为，“把宇宙看做一个在空间尺度方面是有限闭合的连续区”，并从宇宙物质均匀分布的前提出发，在数学上建筑了一个前所未有的“无界而有限”“有限而闭合”的“四维连续体”，即一个封闭的宇宙。根据爱因斯坦这个“球体宇宙”模型推想，在宇宙任何一个点上发出的一道光线，将会沿着时空曲面在100亿年后返回它的出发点。同时，爱因斯坦还认为，宇宙赖以存在的时空（时间与空间）都是弯曲的，从而突破基于平直空间的欧几里得几何学的束缚，推导出宇宙无边界的结论。弯曲时空是一种全新的概念，它抹去了宇宙学研究中原有的机械形式部分。爱因斯坦狭义相对论把三维空间和一维时间联系起来，成为“四维时空统一体”。这种四维时空只是人们习以为常的三维欧几里得空间的简单推广，它依然是平直的；直就是直，曲就是曲，三角形三内角之和必为180°，绝无差错。

宇宙的膨胀 分解图

根据“完全宇宙学原理”，哈勃常数不仅对空间各点是常数，而且不随时间变化，所以宇宙空间的膨胀在时间和空间上都是均匀的。宇宙空间在膨胀，而物质的分布又与时间无关，这样就必须有物质不断产生出来以“填补真空”，也就是填补宇宙膨胀所产生出来的空间。通过完全宇宙学原理和爱因斯坦场方程可以求出宇宙的时空结构，可以得到宇宙的三维曲率为零，也就是三维空间是平直的。

错乱的空间 埃舍尔 版画

爱因斯坦的相对论提出之后，人们对时空有了新的认识。在埃舍尔的作品里，充斥着空间的错乱。

然而，要是我们站在球面上，而不是站在平面上考察问题，情况会怎样呢？

实际上，我们正是生活在地球表面这个大圆球面上。

如果超于地球之上，从空间的角度来看，地平线自然都是呈现曲线的，因为地球本身是一个球体。但如果置身于地面来看地平线，那么，在某段距离之内，我们看到的却是直线。这样，矛盾产生了，即以人类的位置角度来说，地平线到底是一条直线还是曲线？

实际情况是：多条线段连接成了一条圆形的曲线。

星系的分布 示意图

宇宙的星系大体均匀地分布于整个太空，有一些局部的聚集和空洞。星系密度在非常大的距离外显得有些下降，但这也是因为它们如此遥远而黯淡，以致我们看不到。我们所能作的推论就是，宇宙在空间中是永远延伸下去的。

问题在于，平面弯曲了，变成球面，平面上的直线也随之弯曲了，变成了球面上的大圆线。平面三角形三内角之和等于180°，球面上三角形三内角之和大于180°。从平面变到球面，这就是二维空间弯曲的例子。

爱因斯坦的广义相对论，把物质世界与弯曲的四维时空联系起来；凡有物质之处，时空便弯曲。他借助于非欧几何，推导出宇宙有限而无界的结论。试想上述二维球面有限大小，但并无边界，在球面上行走，尽头永无止境，四维时空空间正是这样一种弯曲空间。

爱因斯坦的宇宙模型是一种静态模型，三维超球面不会膨胀，也不会收缩。他认为，宇宙整体是恒静不动的。

爱因斯坦为探索物质运动规律作出了卓越的贡献，但却在这一观点上铸成了他“一生中最大的错误”。不过他毕竟是一位尊重事实的科学家，在新的天文观测资料面前，他很快就放弃了这种“恒静不动”的假设。

“奥伯斯佯谬”从出笼伊始，就建立在一个错误的基点上。

牛顿认为，宇宙像一个无边界的大箱子。可是在人类的思维系统中，箱子肯定都是有边有界的。我们怎么去想象那个无边界的大箱子呢？

牛顿用大箱子，只是想说明，众多的恒星在里面能够因为吸引力的相互作用，永恒而固有地运行着。这样，在太阳系的行星运行系统里，牛顿以上帝的“第一次推动”而完成了地球进入轨道运行的所有难题。而在大宇宙空间中，牛顿又用箱子形式来解决万有引力与星球进入运行轨道所必需的推动力问题。